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南开版泛函分析（第二版）教材习题选解.第一章
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其实这写题目都做过，当时没写下来，过段时间就忘了
南开版 函分析第二版 刘炳初 第一章
35页 12 题
设
是距离空间，
，令： 
是距离空间，，令： 证明： 
是
上的连续函数。
是上的连续函数。证明如下：
对于任意的
，以及
， 有：
，以及， 有：
所以：
由上式，当 
时，
时，
而当
时亦然。
时亦然。故只要
足够小，
可足够小，于是是上的连续函数。
足够小，可足够小，于是是上的连续函数。35页 15题
设
是完备距离空间，
是上的实连续函数族且具有性质：对于每一个
，存在常数
，使得对于每一个
，
是完备距离空间，是上的实连续函数族且具有性质：对于每一个，存在常数，使得对于每一个，
证明：存在开集
及常数
，使得对于每一
及所有，有
及常数，使得对于每一及所有，有证明如下，此题的证明使用完备距离空间是第二纲集即可。类同于共鸣定理的证明方法，可以证明，存在某个正数
，使得集合
在某个开集里面稠密，又因为是上的实连续函数族，于是很容易可以的证明，任意在这个开集里面有
，使得集合在某个开集里面稠密，又因为是上的实连续函数族，于是很容易可以的证明，任意在这个开集里面有36页 20 题
设
是紧距离空间，
是上到自身的映射且满足条件：对任意的 
，当
时，
是紧距离空间，是上到自身的映射且满足条件：对任意的 ，当时，
证明
在
上有唯一不动点。
在上有唯一不动点。证明： 对任意的
，令 
，令 由于是紧距离空间，所以对于列
，必能选择出有收敛子列 
，且满足 
是紧距离空间，所以对于列，必能选择出有收敛子列 ，且满足 设收敛于
， 即是 
， 
则是不动点，进而可以证明是唯一的不动点。
收敛于， 即是 ， 则是不动点，进而可以证明是唯一的不动点。保存一下
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