文克玲
“刻舟求鱼”究竟是怎么回事?
2016-12-20 00:05
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“刻舟求鱼”究竟是怎么回事?


岳东晓就“刻舟求鱼”发表了多篇博文。他的结论是:考虑了水的阻力时,船最终会回到原位。

如果定性地讨论这个问题,我们可以这样考虑:

1.如果水的阻力严格为零,船+人的系统的质心位置不变,而船会后退一个距离$\delta x$,人前移。

2.如果水的阻力为无穷大,则船完全不动。

3.实际情况在两者之间。

这种思考方法可以说是科学常识,一般不会错。如果水的阻力很小,应该很接近1的情况,船后退一个比$\delta x$略小的距离。

岳东晓假定水的阻力和船的速度成正比,列出了运动方程式,算出了:

$S(T) = V_0 \frac{m}{M} \frac{M}{k} (e^{-k\ T/M}-1)" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S(T) = V_0 \frac{m}{M} \frac{M}{k} (e^{-k\ T/M}-1)" style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;background-color:#ffffff;display:inline;$

$S^\prime(\infty) = V^\prime \frac{m+M}{k} = V_0 \frac{m}{m+M} (1-e^{-kT/M}) \frac{m+M}{k} \\= V_0 \frac{m}{k} (1-e^{-kT/M})" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?S^\prime(\infty) = V^\prime \frac{m+M}{k} = V_0 \frac{m}{m+M} (1-e^{-kT/M}) \frac{m+M}{k} \\= V_0 \frac{m}{k} (1-e^{-kT/M})" style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$

船运动的总位移为

$d = S(T) + S^\prime(\infty) =0" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?d = S(T) + S^\prime(\infty) =0" style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$

岳东晓的计算没有错,他的结论也“没有错”,船“最终”会回到原来的位置。但是,这个“最终”是什么时候?是无穷远的将来!

让我们把人落回船上的时刻当作零点,船的原始位置也取作零点。当t>0时,船的位置是:

   $x(t)=-S(T){e^{ - t/\tau }}$                    (1)

可以看出,船到原点的过程是一种指数衰减的方式,其中的$\tau$是所谓的半衰期,是岳东晓公式中的$(m+M)/k$。假如船开始倒退了一尺,$\tau$是24小时,而岳东晓的方程式又是完全精确的,我们就真的看到了一个一尺之捶,日取其半万世不竭”的实际例子。

实际情况当然不会完全是岳东晓那个理想方程,我们也不能无限地等下去。我们真正看到的是人跳起来时船会后退;人落回船上后船会前进一点。但是我们等不到船回到原处。

又,如果水的阻力严格为零,即$k=0$,则:$\tau =\infty$ ,那么:

   $x(t)=-S(T)$                                 (2)

这就是我们在定性讨论中的情况1。

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