Ising 模型

恩斯特·伊辛（Ernst Ising）于1900年出生于德国科隆。恩斯特·伊辛（Ernst Ising）的父亲是商人古斯塔夫·伊辛（Gustav Ising），母亲是谢克拉·洛维（TheklaLöwe）。小时候放学后，他就去哥廷根大学和汉堡大学学习物理数学。1922年，他开始在Wilhelm Lenz的指导下研究铁磁性。于1924年在汉堡大学获得物理学博士学位（摘要，博士论文1925年出版为科学杂志的一篇文章，使得许多人相信他在1925年发表了他的全文，见[1] [2] [3]）。他的博士论文研究了Wilhelm Lenz建议的问题。他研究了线性磁矩链的特殊情况，这些磁矩只能有“上”和“下”两种情况，而且它们只与最近邻的磁矩发生耦合。

获得博士学位后，Ernst Ising先生在Salem，Strausberg和Crossen等地做老师之前工作了很短时间。1930年，他与经济学家Johanna Ehmer博士结婚。作为一个年轻的德国犹太科学家，1931年希特勒上台时，伊辛被禁止教学和研究。在1934年，他在波茨坦附近的卡普斯犹太学校（这个学校招收被公立学校赶出的犹太学生）找到了一个职位，刚开始是老师，后来担任校长。恩斯特（Ernst）和他的妻子约翰娜·伊辛（Johanna Ising）博士，住在爱因斯坦家族着名的夏季住所附近的卡普斯（Caputh）。在1938年，Caputh的学校被纳粹摧毁。1939年，Ising逃到了卢森堡，在那里，Ising以作牧羊人和铁路工人维持生计。在德国游击队占领卢森堡后，恩斯特·伊辛被迫为军队服务。1947年，伊辛一家移民到美国。虽然他在伊利诺伊州皮奥里亚州布拉德利大学（Bradley University）担任物理学教授，但从未再次发表过文章。 Ising于1998年在皮奥里亚的家中死亡，就在他98岁生日之后的一天。

伊辛模型简介

在统计物理中，伊辛模型可以称得上是兼具简介、有效、应用广泛等优点的典范。在Rudolf Peierls，Hendrik Kramers，Gregory Wannier和Lars Onsager研究下，该模型被证明成功地解释了铁磁和顺磁态之间的相变[4] [5]. 这个简单的模型可以提供非常丰富的物理内容。它不仅可以用来描述晶体的磁性，还可以用来描述非合金中的有序-无序转变、液氦超流态转变、玻璃相物质特性等等。

Ising模型的提出是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。而当系统处于临界温度的时候，Ising模型表现出一系列幂律行为和自相似现象。

由于Ising模型的高度抽象，人们可以很容易地将它应用到其他领域之中。例如，人们将每个小磁针比喻为某个村落中的村民，而将小磁针上、下的两种状态比喻成个体所具备的两种政治观点（例如对A,B两个不同候选人的选举），相邻小磁针之间的相互作用比喻成村民之间观点的影响。环境的温度比喻成每个村民对自己意见不坚持的程度。这样，整个Ising模型就可以建模该村落中不同政治见解的动态演化（即观点动力学opinion dynamics）。在社会科学中，人们已经将Ising模型应用于股票市场、种族隔离、政治选择等不同的问题。另一方面，如果将小磁针比喻成神经元细胞，向上向下的状态比喻成神经元的激活与抑制，小磁针的相互作用比喻成神经元之间的信号传导，那么，Ising模型的变种还可以用来建模神经网络系统，从而搭建可适应环境、不断学习的机器（Hopfield网络或Boltzmann机）。

Ising模型之所以具有如此广泛的应用并不仅仅在于它的模型机制的简单性，更重要的是它可以模拟出广泛存在于自然、社会、人工系统中的临界现象。所谓的临界现象，是指系统在相变临界点附近的时候表现出的一系列的标度现象（Scaling phenomena），以及系统在不同尺度之间的相似性。临界系统之中不同组成部分之间还会发生长程的关联，这种通过局部相互作用而导致长程联系的现象恰恰是真实复杂系统，如社会、经济、认知神经系统的复杂性所在。因此，Ising模型不仅仅是一个统计物理模型，它更是一个建模各种复杂系统模型的典范。

ISING模型简史
Ising模型最早的提出者是Wilhelm Lenz (1920)。后来，他让他的学生Ernst Ising对一维的Ising模型进行求解，但是并没有发现相变现象，因此也没有得到更多物理学家的关注。
随后，著名的统计物理学家Lars Onsager于1944年对二维的ISING模型进行了解析求解，并同时发现了二维ISING模型中的相变现象，从而引起了更多学者的注意。
之后，随着物理学家Landau、Ginzburg等人的努力，人们发现了Ising模型与量子场论之间的联系，并创立了平行的“统计场论”

物质的磁性

物质的磁性源自于原子的磁性，主要有外层电子的轨道磁矩、电子的自旋磁矩、原子核磁矩。在泡利不相容原理和库仑相互作用下，物质在宏观上显现磁性。

A——顺磁性（paramagnetism）是指材料对磁场响应很弱的磁性。如用磁化率 k=M/H 来表示（M和H分别为磁化强度和磁场强度），从这个关系来看，磁化率k是正的，即磁化强度的方向与磁场强度的相同，数值为10^－6—10^－3量级。
B——铁磁性，是指物质中相邻原子或离子的磁矩由于它们的相互作用而在某些区域中大致按同一方向排列，当所施加的磁场强度增大时，这些区域的合磁矩定向排列程度会随之增加到某一极限值的现象。
C——反铁磁性，在原子自旋（磁矩）受交换作用而呈现有序排列的磁性材料中，如果相邻原子自旋间是受负的交换作用，自旋为反平行排列，则磁矩虽处于有序状态（称为序磁性），但总的净磁矩在不受外场作用时仍为零。这种磁有序状态称为反铁磁性。注： ①这种材料当加上磁场后其磁矩倾向于沿磁场方向排列，即材料显示出小的正磁化率。但该磁化率与温度相关，并在奈尔点有最大值。 ②用主要磁现象为反铁磁性物质制成的材料，称为反铁磁材料。

自旋相互作用的Heisenberg 模型为： $H=\pm J\sum_{<i,j>} S_{i}S_{j}$

- J > 0表示相邻自旋的相互作用倾向于自旋取向相同，即铁磁相(FM state), below Curie temperatureTc；J > 0而表示相邻自旋的相互作用倾向于自旋取向相反，即反铁磁相(AFM state), below Neel temperature Tn。大于以上特征温度，体系呈现出顺磁态（PM）。

铁磁体在低温时有自发磁化，即体系零场时的磁矩（剩余磁矩）非零。大于特征温度时，体系的剩余磁矩为零，系统处在顺磁态。使用伊辛（Ising）模型来描述铁磁体，并以此来研究铁磁顺磁相变会使问题变得简单。

What is the Ising Model？

由Ernst Ising创建的磁自旋线性模型
对于一种现象的模拟，每个点都具有两个值中的一个，并且仅与其最近邻发生相互作用
磁自旋可以有1或-1的值
使用哈密尔顿量计算系统的能量

$H=\pm J\sum_{<i,j>} \sigma_{i} \sigma_{j}+\mu B\sum_{i}\sigma_{i}$

<i,j>表示近邻相互作用，B表示外场。

平均场近似

对于相互作用的系统，一般而言，严格求解非常困难。通常采用各种形式的近似方法。平均场近似就是一种很通用的近似方法。（1907 年，Weiss 首先应用该方法（Mean Molecular Field Theory）研究铁磁性磁畴的磁学特性。）简单而言，平均场近似是将一个多粒子相互作用的问题近似为一个单体无相互作用的自恰问题。即考虑一个无相互作用的单粒子模型，在其基态，求相互作用模型H 的能量平均值H 。平均场近似的哈密顿量H0的基态是所用单粒子模型中使H 最小的单粒子模型，这是通过自洽求解物理量实现的。也就是平均场近似下的基态能量是所有可能单粒子模型基态能量的最小值。

我们采用平均场近似 $H_{0}=-\mu \bar{B}\sum{\sigma_{i}}$