科学出版社分享 http://blog.sciencenet.cn/u/sciencepress 中国最大的综合性科技出版机构之一,科学家的出版社!

博文

数学:大道至简 驾驭无穷丨科技名家笔谈

已有 995 次阅读 2020-10-14 09:01 |系统分类:观点评述

640.png



作者:华南师范大学数学科学学院教授,教育部“国培计划”专家库首批20位数学专家,全国数学教育研究会常务理事兼副秘书长,《数学教育学报》编委,教育部本科国家级教材《中学数学教学设计》主编。



640.webp.jpg

何小亚肖像画
本栏目画家张武昌绘


数学是什么?要真正回答好并不容易,数学家对此也有争论。笔者无意介入,只是从科普的角度阐释一下,数学玩什么,如何看待数学,其价值何在。


数学玩数量关系、玩空间形式、玩模式。追根溯源,代数系统的产生基于数系的发展,而数的来源,中国道家认为,道生一,一生二,二生三,三生万物。一是单点集合的标志,一生于道,而道即玄,即深奥、神妙。几何系统最基本的元素是点,点动成线,线动成面,面动成体。几何中的点是抽象的,可以标明位置,但没有大小、范围。“一”和“点”在真实世界里是不存在的,由它俩演绎出来的代数和几何在真实世界里也是不存在的。数学世界是人类思维的存在。


我认为,数学追求的是精确、严谨、简洁、概括、统一。这是数学独有的、有别于其他学科的特点。


离开数学的精确,无法真正定义“多”“少”“远”“近”。人眼最多能分辨0.1毫米的差异,数学的精确可以使我们超越感知器官的局限,更好地认识微观世界。如果将短线段上的点与长线段上的点建立一一对应关系,那么它们上面的点的数量就是相同的,尽管这看起来如此不可思议。


数学本质上是从定义、公理、公设出发,按照逻辑推理规则,得出的一套演绎系统。数学的严谨表现在两方面:一是举反例的思维方式,这是数学不同于社会科学和实验科学的一大特点;二是其逻辑性,包括形式逻辑和辩证逻辑。在形式逻辑方面,要求概念和判断必须保持一致,判断要有充分根据,不自相矛盾,不模棱两可。在辩证逻辑方面,要求抓住数学中各式各样的矛盾(已知与未知、常量与变量、有限与无限、一般与特殊、直与曲……)进行分析转化。转化的策略一般有:化陌生为熟悉、化繁为简、顺推与逆推之结合、动与静之转化、数形结合、一般与特殊之互化…….


追求简单化是数学的灵魂,从一定意义上来说,数学是因为人类追求简单而诞生的。为节约时间和人力物力,人类在树干上刻痕计数,用0,1-9数字、进位制以及小数点,就可以表示超大的数,无限接近0的数;加法就是计数的简化;乘法就是复杂加法的简化。比如,写出10000个2相加。若写10000个2,9999个加号,麻烦无比,怎么办?简化它,写一个2,把加号旋转45度,取名为乘号,于是“10000个2相加”就简化为“2×10000”,这就是乘法,太简洁了。对初中生来说,乘方不是新运算,小学时就学过。乘方就是对复杂乘法的简化。比如,写出“10000个2相乘”。若写10000个2,9999个乘号,麻烦无比,怎么办?简化它,写一个2,乘号也不用了,在2的右上角写上“10000”。这就是乘方,太简洁了。有了乘方,知道幂和指数,求底数就是开方;知道幂和底数,求指数就是求对数。


数学追求至简的另一个典型是自然数的立方和公式:




自然数的立方和公式


对于加法运算次数,公式两边都一样。但对于乘法,左边要算2n次,而右边却简化为只算一次。想象一下,如果n=1亿亿亿,那么左边要算2亿亿亿次乘法,那要占据多少内存,要花多少时间和算力,而右边就只需算一次。真是大道至简!


数学最精彩的是概括性,即以一个有限的模式驾驭无穷的具体,让人叹服。请看平面向量基本定理:想象一下平面上有多少个向量?向量有长有短,长至十万八千里,短至1纳米,还有无穷无尽的方向,这么多无穷无尽的向量如何掌控,太复杂了。不过,所有向量都逃不出数学的手心。对于平面上的任意一个非零向量,在这个平面上随意选定两个不共线的向量i和j,分别过起点A和终点B作直线a平行于i,直线b平行于j,因为i和j不共线,所以直线a、b必然交于一点,根据向量的三角形法则和数乘向量就可得出AB=mi+nj。这么多无穷无尽的向量居然可以只用两个不共线的已知向量i和j线性表示。为了更简单,可以取i和j为正交的单位向量。平面向量基本定理就是这样简单、强大,强大到以一个有限的模式驾驭无穷的具体。平面向量基本定理就是数乘向量的推广,而且还可以推广到三维空间,其方法、结果形式几乎是一样的。数学是联系的、统一的,代数中的统一,几何中的统一,代数与几何的统一。


数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,为其它科学提供了语言、思想和方法,是一切重大技术发展的基础。有马克斯韦尔方程,才有电池波理论和现代通讯技术;有黎曼几何,才有广义相对论;有纳维-斯托克斯方程,才有流体力学、航空学;有牛顿万有引力定律,才有天文学、物理学。首位诺贝尔物理学奖得主者伦琴在被记者问到他需要什么时回答说:“第一是数学,第二是数学,第三是数学。”


数学是思维的体操,在提高推理能力、想象力和创造力等方面有独特作用。数学的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分,它教育人们尊重事实,服从真理; 使人缜密、精力集中、认真负责;它使人表达有条理、办事有条不紊; 使人坚韧、脚踏实地、勇敢进取。


英国思想家培根说:“读史使人明智,读诗使人灵秀,演算使人精密。”美国数学家莫里斯·克莱因认为,音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,而数学能给予以上的一切。对数学的价值,科学史上的大家伽利略、开普勒等都给予高度评价。


数学是现代科技产业的重要基础,当今引人注目的5G技术和产业就源于十多年前一位土耳其教授的一篇数学论文。数学能力不仅关乎思维能力、产业发展、国家竞争力,而且与个人收入密切相关。哈佛大学教授约书亚·古德曼的一项研究发现,数学越好的人收入越高,接受数学教育的时间每多一年,毕业后的工资会多出10% 。这表明:“数学就是财富!”



《人民日报海外版》携手科学出版社推出

(2020年9月28日,第9版)

 
 
640.webp (1).jpg
图片来源:Pixabay

想了解作者更多优秀作品?


640.webp (3).jpg


本书紧扣数学新课标和现代数学教学论与学习论,以初中、高中数学新教材作为素材,内容包括数学教学设计导论,数学基本课型的教学设计,常见的数学教学模式,数学问题解决的教学设计,数学活动课的教学设计,数学微型教学,说课·听课·评课,数学教学设计的原理与策略。书中在每章前给出本章的内容框架、学习要求和目标;章后的“实践与反思”为读者提供进行实践的小课题和进行反思的问题案例。



640.webp (2).jpg


一起阅读科学!

科学出版社│微信ID:sciencepress-cspm

专业品质  学术价值

原创好读  科学品味



http://wap.sciencenet.cn/blog-528739-1254303.html

上一篇:有机热电:从材料到器件
下一篇:探索高质量发展之路——中宣部2020年主题出版重点出版物《迈向高质量发展之路》出版

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2020-11-26 07:17

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部