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黎曼猜想研究进展

已有 8774 次阅读 2019-1-30 16:31 |个人分类:《中国科学》杂志社|系统分类:科普集锦

  • 杨志华


黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。人们普遍相信黎曼猜想的结论是正确的,但对它的验证依然是极度困难的。对黎曼猜想的研究仍是进行时。



黎曼猜想(也称黎曼假设、黎曼猜测)是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想。具体表述为,函数ζ(s)的所有非显然零点均落在复平面的竖直线R(s)=1/2


(一)横空出世


1859年,德国数学家波恩哈德·黎曼向柏林科学院提交了一篇题为《论小于给定数值的素数个数》的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

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波恩哈德·黎曼 


(二)地位非凡


黎曼猜想自提出以来,吸引无数数学家投身其中,引起数学界广泛关注。

1900年,德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,其中包括黎曼猜想。据说有人曾经问他:如果他能在500年后重返人间,他最想问的问题是什么?他回答说是:是否已经有人解决了黎曼猜想?

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戴维·希尔伯特

2000年,美国克莱数学研究所将黎曼猜想列为千禧年七大数学难题之一,成功解决其中任何一个难题都将获得100万美元奖金

2005年,Science杂志发布“全世界最前沿的125个科学问题”,黎曼猜想赫然在列。

2016至2018年,《科学通报》全方位解读“Science 125个科学前沿问题”,中国数学家葛力明撰文回顾黎曼猜想的历史和发展现状,认为“黎曼假设就是数学王国的半壁江山”。

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葛力明在《科学通报》上回顾黎曼猜想历史和发展现状的文章首页

2018年9月,海德堡获奖者论坛上,89岁高龄的英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士宣称用“简单”而“全新”的方法证明了黎曼猜想,让这一重大数学猜想再度进入公众视野。

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迈克尔·阿蒂亚


(三)引无数英雄竞折腰


黎曼猜想自1859年提出至今已有160年。毫无疑问,黎曼猜想是艰深的,对黎曼猜想的验证是极其困难的,证明黎曼猜想注定是天才的游戏。

160年来,数学家们主要从两个方向来验证黎曼猜想。

第一个方向是计算黎曼ζ函数的非平凡零点。1903年,丹麦数学家第一次算出了15非平凡零点的具体数值,这些零点的实部全部都是1/21925年,LittlewoodHardy改进了计算方法,算出138零点。随后,Hardy的学生利用Siegel1932年得到的Siegel公式将非平凡零点算到1041;人工智能之父图灵将非平凡零点推进到 1104 个。1966年,借助计算机,非平凡零点验证到350万个1981年,荷兰数学家检验了最初的2亿个非平凡零点,证明黎曼猜想是对的。1985年,计算机已经能够算出前15亿个非平凡零点。2004年,这一纪录达到8500亿个。法国团队用改进算法,将黎曼ζ函数的非平凡零点计算10万亿个,仍然没有发现反例。

第二个方向是证明临界线上零点个数的比例。英国数学家Hardy首先证明黎曼ζ函数的零点有无穷多个都位于实部是1/2的直线(临界线)上,但人们并不知道临界线以外是否存在零点。随后,挪威的Selberg证明了临界线上的零点个数占全部非平凡零点个数的比例大于零,这意味着临线上的零点在全部零点的分布中举足轻重。进一步,美国的Levison引入独特算法,证明临界线上的零点占全部零点的比例达到34.74%。基于Levison的技巧,美国的Conrey1989年把比例推进到40%,这也是迄今为止得到的最好结果。


(四)路漫漫其修远


人们普遍相信黎曼猜想的结论是正确的,但对它的验证依然是极度困难的。正如中国数学家王元所言:“黎曼猜想不像费马大定理和哥德巴赫猜想那样,只要有中小学数学知识的人,就知道其题意。”“研究它们的目的主要在于发展数学中的新思想与新方法。”“一旦黎曼猜想解决了,人类就站在不知比现在高多少的数学平台上,看到远得多的风景。”

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王元

前路漫漫,对黎曼猜想的研究仍是进行时。

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