科学网-趣味运筹学：交换压岁红包 | 马上过年了，或许你用得上-科学出版社的博文

趣味运筹学：交换压岁红包 | 马上过年了，或许你用得上

2018-2-13 12:17

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有一年过年，一位老先生给他的两个读中学的孙子每人发了一个红包作为压岁钱，并告诉他们，这两个红包中的金额一个是另一个的2倍，如果你们想撞撞运气的话，可以考虑互相交换。

现在的问题是，这两位中学生在知道自己红包中的金额之前和之后应该如何决策？假定老大拿到的红包是200元，下面我们来进行分析。

先假定两个中学生在拿到爷爷给的红包之后均未打开红包，这时正确的决策应该是交换。我们可以这样分析，假定其中某个人红包里的金额为x元，这时另一个人红包中的金额为2x或为(1/2)x的可能性即概率各为0.5，如果对方是2x，则自己增加一个x；如果对方是(1/2)x，则自己减少(1/2)x，于是可得到期望收益(1/4)x。即

0.5x−0.5(1/2)x=(1/4)x

期望收益为正数是增加的，值得交换。

当然，这只是我们的分析。现在的问题是，如果你交换了红包压岁钱就一定能增加(1/4)x吗？

如果你的回答是肯定的，那就大错特错了。因为交换的结果只能是两个，要么增加，要么减少。如此说来有读者就一定会问，这样说我们的分析又有什么意义呢？有意义！因为这里我们面对的是一个风险决策问题。处理风险决策问题的基本方法是期望值方法。期望值是以概率为权数的一个加权平均数。我们知道，概率是在大量实验的基础上得出的，它只是一件事发生的可能性，不等于必然性，必然事件发生的概率为1。就像我们说投掷一枚硬币得到正反面的概率各为0.5是一样的，它是在大量实验的基础上得出的。上述的结论意思是说，如果这种交换要进行很多次的话，最终你的收益是会增加的。

现在，话又说回来了。红包是否需要交换只是一个一次性游戏，我们不可能进行很多次。那么究竟换还是不换，这就要看你对待风险的好恶了。如果你是风险喜好型的，就换；如果你是风险厌恶型的，就不换。当然，你也可以参考上述期望值分析所提供的信息，即如果这种交换多次进行的话，预期的收益是增加的，因而选择交换也不失为明智之举。

接下来我们假定两个中学生都分别打开了自己的红包，且均已知道自己红包里的金额，那么这时是否一定要交换呢？这就另当别论了。假如老大已经知道自己红包里的金额是200元，那么老二红包里的金额要么是100元，要么是400元。老二的红包里究竟是多少呢？如果是400元，爷爷的总开支就是600元；如果是100元，则爷爷的总开支是300元。那么爷爷的总开支究竟是多少呢？这并不难确定。①可以根据爷爷往年给他们压岁钱的多少进行判断；②可以根据爷爷平时对他们的严格或宠爱程度进行判断；③可以根据爷爷当年的收入情况进行判断。假如综合判断结果，爷爷的总开支600元的可能性（或概率）是0.7，总开支是300元的可能性（或概率）是0.3，这就是后验概率。这时每个人收益增加和收益减少的概率都将不再是0.5∶0.5，而是根据后验概率进行修正后的概率，比如0.35∶0.15。

这里的决策需要用到一个条件概率公式——贝叶斯公式。

在生活实践中我们知道，不确定性经常是由信息的不完备造成的。决策的过程实际上是一个不断收集信息的过程，当信息足够完备时，决策人便不难做出最后决策。因此，当收集到一些有关决策的进一步信息Y后，对原有的各种状态Xi发生的概率的估计可能会有所变化，变化后的概率记作P（Xj|Y），这是一个条件概率，表示在得到追加信息Y后，对原有的先验概率Ｐ（Xj）的修正，故称作后验概率。由先验概率得到后验概率的过程，也称作对概率的修正，这种修正经常需要用到贝叶斯公式，所以，这种方法通常也叫作修正概率方法或贝叶斯方法。这里涉及的问题更加复杂一些，从趣味运筹学编写的目的出发，这个问题我们留给感兴趣的读者去进一步探讨，这里不再赘述。

这个问题就讲到这里了，如果觉得有意思，不妨一试哈~~

马上过年啦，恭祝大家春节快乐、假期美满！多多多收红包包包！