关于伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理。椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹。而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹。当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线。

居然有一个以数学邮票为主体的网站。赞一个。

“杰利蝾螈”是一个来自美国的政治术语，指以不公平的选区划分方法操纵选举，致使投票结果有利於某方。基於马尔科夫链的数学模型显示，宾夕法尼亚的划分是这样的结果。

这是一个只谈计算复杂性理论的博客。

量子计算机的出现给密码安全带了新的威胁。不过，华盛顿州立大学的数学家声称他们已经对如何防御量子计算攻击取得了突破。他们的论文在这里。

这是一个写给高中生的短文：如何计算地球自转的速度。结果要用到微积分。

哈佛学者开发了一个3D图片数学语言，可能成为纯数学、物理等领域里的工具。他们的论文在这里和这里。

这是Stephen Wolfram的一个演讲。人们通常认为新的发现不是人们可以实时看到的。但是，我花了几十年来建立的计算工具的奇妙之处在於，它们使得实现想法的速度很快，使发现成为一种实时性能艺术变得现实。但数学是一个古老的领域。是不是所有的“容易”的发现已经发现过了？ 绝对不是！

一些真实世界的中学数学问题。

毕达哥拉斯琵琶是一个自相似几何图形，由一系列五角星做成。虽然以毕达哥拉斯命名，但其历史不可考。

在欣赏美图的同时，也请看一下这个特殊的连分数。

最近因为整理《欧几里得原本》，查阅资料时发现单尺、单规作图问题这片天地。通过仔细阅读文章，感觉有的地方在很多书里都没有说明白，所以这里写出来希望和有关人士交流，最不济也是把自己的思路整理一下。第一是所谓“松圆规”问题。《原本》里的圆规是松的，也就是只要圆规两个角一离开纸面，马上就会合并到一起。所以《原本》里如果要利用圆规截取等长线段，是相当麻烦。第二个问题，我们以二等分线段为例，分析尺规作图和单尺作图的区别。

介绍几个：Inkscape + Blender，Photoshop + Illustrator + Tinkercad + 3DS Max，Sketchup + MeshLab，Mathematica + MeshLab + TopMod + Meshmixer，Blender + ZBrush + Rhino。

算盘作为一种计算设备已有数千年的历史，过去一个世纪它逐渐被计算器和计算机所取代。但众多研究显示，使用算盘能影响一个人的数学能力。从哈佛到中国的研究人员发现，使用算盘的学生比使用现代工具的学生能学到更多，加州圣迭戈的心理学家  David Barner 领导的一项研究认为，算盘训练能显著提升数学能力，其影响能持续数十年。 Barner 预言，接受算盘训练的学生在以后的人生中将会获得更高的数学成绩。心理学家对此现象的一种解释说，学习是一种创成式活动。

NSA 和美国能源部的专家在一份报告中警告，最早到 2020 年中国极有可能在超算领域占据领先地位，除非美国迅速行动起来增加投资。中国在超算上进步不仅威胁到美国的国家安全，还威胁到美国在高科技制造业的领导地位。报告呼吁美国增加在超算上的支出。中国的超算系统过去几年一直占据了 Top 500 的榜首。报告呼吁美国增加投资，但特朗普政府和共和党控制的国会则计划大幅削减政府预算。报告认为，中国投资超算的一个目标是实现从在中国制造到由中国制造。报告同时也指出，超算也可被用于设计武器系统。

Scratch Ed 是哈佛教育学院的一个组织，这里讲的是如何用Scratch于数学教育。

 作者用自己亲身经历谈数学怎样帮助生物学取得发现。中文：重要发现背后不可忽视的数学

 要知道，老师也有自己的软肋。比如作者的软肋就是几何。看看他是怎么解决的。

2015年，大都会艺术博物馆收购了一系列由10名杰出的数学家和科学家绘制的最美丽的方程式图片。例如，数学家斯蒂芬·斯马尔（Stephen Smale）选择了最早出版于17世纪的相对简化的数值分析方程，称为牛顿方法；理论物理学家史蒂文·温伯格展示了促成了他获得1979年诺贝尔奖的电弱交互作用的拉格朗日量。10个数学表达式是“图片数学”的核心。

它们是：1，i，葛立恒数,，0，e，τ，和φ。你都认识吗？

在做数学研究时，你可能无从下手。这时不妨做图像，也许能发现意外的关系。网友们讨论了许多例子。

在争论了一百多年之后，物理学家终於在数学上证明了热力学第三定律。热力学第三定律声明绝对零度不可能在物理上实现，因为一个系统的熵不可能为零。伦敦大学学院的 Jonathan Oppenheim 和 Lluis Masanes 给出了不可能达到绝对零度的数学推导，设定了一个系统能冷却多快的速度限制，得出了热力学第三定律的一般性证明。Oppenheim 说，在计算机科学里，人们总是会问一个问题：执行一次计算的时间需要多长。冷却机器冷却系统就像计算机执行一次计算，可以被视为以下一系列的步骤：一次又一次的从系统向周围环境转移热量，系统的热量减少，周围环境的热量增加。一个系统能冷却到多冷与热量的转移与倾泻热量的库有多大相关。通过运用量子信息理论，他们证明没有一个真正的系统能达到 0 开尔文：达到绝对零度将需要无限的步骤。

据说，这个杂志公开。

一句古老的格言认为，巴西蝴蝶翅膀的翅膀可能在德克萨斯州几周后触发龙卷风。虽然混沌理论说基本上不可能准确地计算出这个可能发生的情况，科学家用数学在漩涡现象取得进展。这里有一些讨论

关于pi的最好的事情是你能在不期望的地方找到它，比如说随机散步。那什么是随机散步？

计算机程序使我们能够用数学方法创造艺术作品。分形艺术是使用电脑制作令人惊叹的数学图像的一个很好的例子。有许多不同的方式使用数学来创建令人惊叹的图画。在这篇文章中，我想分享一个简单的方法。

我们中学初等几何中常用的添加辅助线、辅助面的方法其实就是附加参数以增加条件方程。

Roger Antonsen是挪威奥斯陆大学的教授。他在TED演讲里通过最具有想象力的形式 - 数学 - 来打开数学的奥秘，解释为什么模式、数字和公式的轻微变化能成为沟通和理解的通道。

AsciiMath是用Javascript显示数学公式的工具。

这里是一些数学名人。如果让他们参加一次锦标赛，你觉得谁会胜出？

傅立叶变换是傅立叶在1867年建立的。傅立叶的兴趣是热在材料内部和周围的流动。他没有意识到他的贡献对於科学技术的重要性。他的主要贡献是他意识到复杂的信号可以由一些简单的信号合成。他选择通过将正弦曲线相加来做，而我们在高中就已经学习过这些可以预测的振荡波。

都是原创雕塑作品。可以购买。

坐长途飞机的人都需要倒时差。本文建立一个时差的数学模型。然后讨论它的性质。

1955年，澳大利亚数学家Leo Moser提出问题：在一个二维平面L形区域里移动一个家具，问可以通过这个区域的这个家具的形状。这个问题困惑数学家达50年之久。加州大学戴维斯分校教授Dan Romik取得了新的进展。相关阅读：困扰数学家的沙发问题，The moving sofa problem

想像一下你能进入非欧空间。多么令人振奋。

当一个三节的摆围绕一个固定的中心转动时，会是什么样子？我们知道初始条件的一点改变就会使得这个摆的轨迹完全不同。作者给出了一个Python程序。

倒频谱（cepstrum），顾名思义，就是将频谱（spectrum）的英文前四个字母反过来写。倒频谱是为了某些时候，为了计算方便，将原来信号的频谱先转成类似分贝的单位，再作逆傅里叶变换，把它视为一种新的信号做处理。

本福特定律 (Benford's law)，也称为本福特法则，说明一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现概率约为总数的三成，接近直觉得出之期望值1/9的3倍。推广来说，越大的数，以它为首几位的数出现的概率就越低。它可用于检查各种数据是否有造假。

据说这个杯子是毕达哥拉斯设计的，所以称为毕达哥拉斯杯。它初看起来就是一个普通的杯子，但它的中间有一个通道。当杯子中的水达到一定高度时，杯子中的水会通过中间的管道被吸走。毕达哥拉斯杯在市场上有销售。

人家做出来了，你可以随意提取。能捐款当然更好。

小波理论创始人获得2017年阿贝尔奖
数学联盟主席之作：小波十讲
中国女数学家的故事 (王贞仪，高扬芝，徐瑞云，胡和生，张圣蓉)

德夫林：数学是什么？
被人们忽略“穷”猜想（四）：沙努尔猜
矩阵理论方面的经典著作：《矩阵分析》英文版

小学生也能消除数学恐惧：越玩越聪明的数学游戏
阿基米德：我不仅仅能撬地球，我乃数学之神！
三八女神节：细数12位数学女神
费马大定理证明者：搞数学是一种怎样的体验？
3.14数学天王枕π节打折：仅此一天！
每人有机会中一本，每种书籍赠送5本哦！
分组散步引发的一个烧脑排列组合问题
“和风”数学书：《数学女孩》和《菜鸟侦探挑战数据分析》
田刚：呵护今天就是塑造未来
超级数学家柯尔莫哥洛夫
关肇直：数学不光是少数数学家的数学
从抽象到具体：数学分析原理（一）课程
写给大一初学数分高数的朋友们：浅浅说说两个病态函数

《应用随机过程》：精算、人工智能、机器学习必备知识
五句话证明马费大定理
当代的数学家都长什么样？《当代大数学家画传》

于飞：以哲思演绎数学的精妙
世纪难题与神秘的数学家 (佩雷尔曼)
“罪大恶极”的数学家──潘承彪
自然之子黎曼
怎样的妹子才算是女神，你觉得这四位如何？
数学奖章上的数学故事──讲讲国际数学家大会四大奖项
从笛卡尔到庞加莱──法国数学的人文主义传统
怀念张筑生（1 ─ 4）
怀念张筑生（5 ─ 8）

纪念《数学学报》创刊80周年之“算子代数及算子理论”专辑
阿蒂亚：美妙的数学之梦
院士张平文：学生至上 事业留人

从北大到普林斯顿：大数据领域的“神雕侠侣”王储、王颖斐
一念为教 一生为学 (张平文)
教书的秘诀|浙大名师林正炎及其学术自传推荐
法国数学家Yves Meyer获2017年Abel奖
三生混沌 (李天岩)
在中国如果有一个能让我爱上数学的老师，那一定是他苏步青，可是14年前的今天他走了
冯克勤：回忆做华罗庚研究生的日子
程嫒浏：我是如何跳进数学这个“坑”
到底是谁最早作出正十七边形？ (Heptadecagon, 厄钦格)
伊藤清：柯尔莫哥洛夫的数学观与业绩
人工智能专家李飞飞
学术圣城哥廷根散记
Atiyah: 当代最伟大数学家讲述二十世纪的数学
【大家】中国哥廷根学派──陆士嘉先生
【学术思想】哥廷根学派
传奇 | 今天，我们用她的名字，来铭记她的事业！ (陆士嘉)
《高墙深院里的科学大腕》：“可恶”的高考出题人 (潘承彪)
用“善良”来形容“伟人”的很少，但用到他身上却非常贴切 (欧拉)
关于薛定谔，你不知道的七件事
胡和生和谷超豪：数学王国里的“神仙眷侣”
数学博览 | 梅氏数学家家族 (梅文鼎)
中国数学“大时代”
康托尔的无限王国
革命、变迁与偏微分方程---林芳华教授访谈录
丘成桐：几十年人文教育缺失，多数中国数学家只能“萧规曹随”
二阶非线性偏微分方程──打开宇宙物理学之门
破译了日军偷袭珍珠港密报的中国密码天才，一心抗日却被冤入狱12年 (池步洲)
清华教授、肌肉男神、88篇论文被SCI收录… (杨晓京)
吴恩达到底是谁，没有他的百度该怎么走
钱学森院士：技术科学的研究之路
泛函分析的名字怎么来的？ (Frechet)
分形理论：数学家的迷幻旅程
千年书院中数学文化的播种者──李冶
东汉才女班昭：最早的女数学家
茆诗松：记概率统计界的老前辈 ─ 魏宗舒教授
葛力明：数学的纯粹
哥廷根的传说 | 曾经知识的圣地
希腊古代数学
代数、几何、分析各自的范畴
三本数学史哲书，帮你理解数学思想的进化
丘成桐:基础科学研究需要哲学滋养
朗兰兹纲领：一项伟大的数学工程
A. N. 怀特海：数学与善
龚升：数学历史的启示
面对面的办公室──悲情图灵
概率论的起源及公理化

（1）共有多少种六色正方体？
（2）二米诺，三米诺和四米诺
（涉及 《俄罗斯方块》游戏）
（3）五米诺
上次谈过的正方体，还有话要说
http://mp.weixin.qq.com/s/Z6BO2T67_D2hOq2vMo29Og">填充正方体框架

“当今，如果你想投身到医疗事业中去，那么你最好是研究数学或者计算机科学的，而不是生命科学的。”在一场关于他汀类药物（降低胆固醇的药物）的好处与坏处的讨论中，Rory Collins爵士说出这句精辟的话，而他本人是牛津大学临床试验的领头人。

今年1月8号，南开大学的程明明教授，曾在 CTeX 论坛上给出过一个国家自然科学基金的 LaTeX 模版。受程明明教授先驱工作的启发，我们也做了一点微小的工作。下载区：iNSFC-master

PEN = Problems in Elementary Number-theory 首字母缩写。这个计划很有名，它收集了数百道奥赛中的初等数论的题目（从 A 类一直到 S 类，分类非常细致，国内有类似的书）。

“车轮一定是圆的吗？”你很可能回答，车轮是圆的，这还用说，常识嘛！理由几乎是标准的：圆的半径处处相等，它保证了车辆行驶时车轮轴线距离地面的等高性，使车辆在行驶中保持平稳。但常识未必为真，是因为在常识中往往隐含了一些“观念”、“假设”和“偏见”，或因认识所限而长期沿袭，或已为约定俗成而未经证实批判，如假设了一些隐含的条件、目标和默认的“公理”等。现在我们来深入剖析“车轮一定是圆的”这一常识，它隐含著条件：车身固定在位於车轮中心的车轴上，且车轴到地面的高度不变，地面是光滑平整的；隐含著目标：保持车的平稳行驶；隐含著“公理”：如果车轴到地面的高度不变，那么车轮一定是圆的。倘若我们不严格遵循上述常识中隐含的假定，车轮还一定要做成圆的吗？

数学老师洋洋洒洒下笔千言就令人佩服之至了。若能作诗填词则叫人顶礼膜拜。而所作的诗还与数学知识严丝合缝，水乳交融，情怀君简直要惊之为天人了！全国著名特级教师文卫星先生正是这样一位能诗善文、著作等身， 带著诗意行走课堂的名师！此刻的您肯定迫不及待要亲身去体验和感受一下文老师数学课堂的浓浓诗意！

数学遇到音乐；数学遇到建筑；数学遇到爱情；数学遇到诗词。

湾区日报是一个在旧金山工作的工程师运营的个人博客。该博客每天挑选5篇他主观认为高质量的文章，针对每篇文章拟一个中文标题写一两句简单评论，通过将近10个渠道（比如网站，iOS app，微博，微信，Twitter等）推荐给读者们。写这篇文章的“我”就是这个工程师。湾区日报不是一个公司，也不是一个创业项目。只是我的一个 side project。从2014年8月6日发第一期以后，运营至今。看上去很简单，对吧？我一开始做的时候也觉得很简单，很没技术含量，任何有高中文凭具有简单电脑知识的人都能运营这种博客。但为什么同一道命题作文，每个人写的内容不一样，有人能写离题有人能写满分作文？为什么大家都会写字，有人“竟然”能成为作家并靠写字为生？

从傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，可以讲得很形像。小波变换有著明确的物理意义，如果我们从它的提出时所面对的问题看起，可以整理出非常清晰的思路。

某机构对前几年收到的大量电子邮件做了分类，提取了邮件中的一些关键词，并做了统计。假设三类邮件---工作邮件、一般邮件和垃圾邮件的比例(概率)分别为P₁、P₂、P₃，（P₁+P₂+P₃=1），第 i 类邮件每百封中含有关键词 j 的邮件数（出现关键词 j 的比例或概率）为 Pij 。试问，关键词j在电子邮件中出现的概率是多少？如果一封新邮件中出现了关键词j，则该邮件属於垃圾邮件的概率是多少？这是一个简化的问题，旨在研究如何自动识别垃圾邮件（如果某新邮件属於垃圾邮件的概率超过了预设的某个阈值，该邮件就被判定为垃圾邮件，自动放到垃圾信箱中，拒绝接收）。虽然上述问题不难通过条件概率公式、全概率公式和逆概率公式推导并计算出结果，但对於大多数工作人员来说，对解答过程的理解还是有困难的。

本讲主要介绍强化学习（Reinforcement Learning，RL）处理的问题模型：马尔科夫决策过程（Markov Decision Processes）。

谁会成为AI 和大数据时代的第一开发语言？这本已是一个不需要争论的问题。如果说三年前，Matlab、Scala、R、Java 和 Python还各有机会，局面尚且不清楚，那么三年之后，趋势已经非常明确了，特别是前两天 Facebook 开源了 PyTorch 之后，Python 作为 AI 时代头牌语言的位置基本确立，未来的悬念仅仅是谁能坐稳第二把交椅。

钱宝琮的《水调歌头·咏古代数学》：立法渊源远，算术流更长。畴人功世千古，辛苦济时方。分数齐同子母，幂积青朱移补，经注要端详。古意为今用，何惜纸千张!圆周率，纤微尽，理昭彰。况有重差勾股，海岛不难量。谁是刘徽私淑?都说祖家父子，成就最辉煌。继往开来者，百世尚流芳！李尚志《沁园春·数学》：数苑飘香，千载繁荣，百世流芳。读《九章算术》，何其精彩，《几何原本》，意味深长。实变函数，概率理论，壮阔雄奇涌大江。逢盛世，趁春明日暖，好学轩昂。  难题四处飞扬，引无数英才细参商，仰伽罗华氏，辉煌群论，华陈理论，笑傲万方。一代天骄，爱·怀尔斯，求证费马破天荒。欣回首，看满园桃李，无限风光

1 ，雅各布线:纵使改变,依然故我；2，阿基米德线；3，圆线；4，心脏线；5，玫瑰线；6，笛卡尔线。

起源于古希□的几何学理念在两千多年以来一直贯穿在人类的思想中，不管是科学还是哲学，甚至政治和艺术都是几何学思想的结晶。但是，19 世纪初，几何学却经历了一场革命：人们发现，空间不一定非得是古希腊数学家欧几里德描述的那样，还可以有完全不同的几何学。在本文中，我们就将看到这一革命性的认识是如何影响哲学、科学、文化和艺术的。

密码学就是一门研究信息的加密与解密技术（称为cryptography），以及密码破译技术的学问。密码学有两个显著特点：一是历史悠久（事实上，密码学的历史几乎与人类文明史一样长），二是数学性强（几乎所有的密码体制都程度不同地使用了数学的方法，尤其是代数、几何与数论的方法）。本文著重介绍基於数论的密码方法。

老禅师忙著给各种年轻人指导人生，总是用一些模凌两可的语句，想着想着你自己似乎就想透了。但当满口心灵鸡汤的老禅师遇上理科生……於是有了下面的对话。

定义 1.1 如果一个集合在欧氏空间中的 Hausdorff维数 D H 恒大於其拓扑维数 D T 即 D H> D T则称该集合为分形集，简称为分形。定义 1.2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。

面对庞大（高维）的参数空间，自然也要想办法减少参数个数，这也是大数据时代普遍需要解决的问题。那么参数该如何降维呢？正所谓八仙过海各显神通，不同背景的科学家有不同的做法。

1、压强测量方法；2、温度和热流测量方法；3、密度测量方法；4、力和力矩测量方法；5、表面摩擦测量方法。

现行中学数学课标制定者和统编教科书编写者热衷于将大学数学内容“下放”到中学，这样能创造“政绩”，然后以此证明其水平之高。很多人包括一些决策者对此很相信，一些人甚至认为这是对於世界数学教育的了不起的贡献，很以此自豪。但他们忽略了一个并不令人自豪的事实：在一些大学数学内容“下放”到中学的同时，很多中学数学内容被“上调”到大学。这就如当年许世友将大批城市居民 （仅南京就有15 万, 不包括插队知青和下放干部）下放到农村，而将大约同样数量的农村兵安排到城市并住进他们的房子（这对於世界革命有了不起的贡献：波尔布特仿此下放金边市民并安排自己的兵住进金边）。我的意思是说: 同样都是瞎折腾。

以可计算性和精确性著称的数学,既是近代法律体系的建构指南,也是现代形式法治的哲学支柱。

阮德升是一位来自越南的工程师。自从2002年退休之后，他便一直在为机械构造制作令人惊艳的3D动画目录。他使用AutodeskInventor记录了超过1700种机械结构，并为每一个记录制作一部相应的动画视频，对於理解一些比较复杂和具有挑战性的结构而言，这些视频是非常珍贵的参考资料。除此之外，这些动画本身就是一系列迷人的动力学雕塑，同时具有其纯粹的美学价值。

无论是小学奥数，还是公务员考试，还是公司的笔试面试题，似乎都少不了行程问题──题目门槛低，人人都能看懂；但思路奇巧，的确会难住不少人。平时看书上网与人聊天和最近与小学奥数打交道的过程中，我收集到很多简单有趣而又颇具启发性的行程问题，在这里整理成一篇文章，和大家一同分享。这些题目都已经非常经典了，绝大多数可能大家都见过；希望这里能有至少一个你没见过的题目，也欢迎大家留言提供更多类似的问题。

天要讲的内容都在上图中。几个大小不一的圆，做什么用？好的，接下来作者一个个加以讲解。

为了涨姿势，我加入一个物理博士群，见到有人问：一滴水从很高的地方落下来，会不会弄死人？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的讨论。一小时后我默默的问了一句：你们没有淋过雨吗？群里，突然死一般的寂静……然后，然后我就被踢出群了……

二维螺旋：古老而显赫的“特奥多鲁思螺旋”在二维平面上的投影是螺旋：它的外轮的增量（对边长度）为1；径的增量为 (√ i + 1 - √i)。对角矩阵：17个互相垂直的1（特奥多鲁思螺旋）在线性代数里的表现是：对角线元素等於1，非对角元素等於零的，17*17对角矩阵,I。多元向量：“特奥多鲁思螺旋”在多维空间的投影是17个份量等於1的17-向量。

继物理学地图之后，今天要给大家带来的是一张通往数学世界的地图，概括了所有的数学分支。研究纯粹数学本身也是非常有价值的事。如果你问一位数学家为什么要研究纯粹数学，我想很多人的答案会简洁到只有一个字，那就是：美！

极坐标系：径向e_r和角向e_θ方向应该是右手性的，而且处处垂直。优势：位置只有一个份量。处理圆周运动时比较方便，劣势：求导算速度、加速度时，单位矢量也要对时间求导，处理时比较繁琐。

音乐的力量总是让人感觉神秘莫测，它可以使紧张、忧郁的心情得到放松，还可以导引快乐的心情直通巅峰；可以营造出庄严庄重的气氛，也可以营造出幽默诙谐的氛围。我们知道，不管是乐器、动物还是人，大自然的一切声音都是由於物体振动产生的，对於声音的描述都可以用频率、幅值、波形等力学量来描述，如果对於学过《振动力学》或《机械振动》的人来说，将音乐中的术语换成力学量来描述，可能会对音乐的理解有很大的帮助。

和谐就是个感觉而已，和而不同嘛，自己和自己和（纯一度）没啥意义，不同才有和的价值。和也是有些数理基础的，看看上面的表，五度相生、三分损益和纯律对前面7个音程（同度除外）的定义好像并无差别，都是相当简单的整数比，并且越靠前越简单，当相差这个音阶的两个音或按此频率比的两个声波振动同时被人感知时，确实也是越简单感觉越和谐，这应该已有共识，简单就是美，古人们也英雄所见略同？再细看，大部分弦乐器都是按纯五度定弦的，听起来纯五确实也比纯四要和谐一点；据说大三比小三耳朵听起来亮一些，那大三应更和谐一些；大六嘛看上去也比小六和谐一点，听起来也更亮一点。常说纯音程和大小三六度是协和音程就是指这7个。后面5个音程，几种律似乎有点小差别，其实如果只追求尽量简单些的整数比的话，我们也可以根据前面7个自己把后面5个凑出来，这样也整个律出来就叫“和谐律”好了。

欧多克索斯是古希腊时代最大的数学家，并且在整个古代仅次于阿基米德。他在数学上的第一个大贡献是关于比例的一个新理论。这是为了处理无理数（不可公度比），古希腊人不把无理数当作数。欧多克索斯引入了变量（或简称为量）这个概念（第4章第5节）。它不是数，而是代表诸如线段、角、面积、体积、时间这些能够（用我们的语言来说）连续变动的东西。量跟数不同，数是从一个跳到另一个，例如从4跳到5。对於量是不指定数值的。然后欧多克索斯定义两个量之比并定义比例（即两个量相等的关系），把可公度比和不可公度比都包括在内。但他仍不用数表达这种比。比和比例的概念是同几何学分不开的。继续阅读：袁岚峰：《古今数学思想》读书笔记（七），《古今数学思想》读书笔记（八），《古今数学思想》读书笔记（九）

人生的痛苦在於追求错误的东西。所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，才猛然发现，你和它是不连续的。人和人就像数轴上的有理数点，彼此可以靠得很近很近，但你们之间始终存在隔阂。人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的夥伴。但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。人和命运的关系就像F(x)=x与G(x)=x^2的关系。一开始，你以为命运是你的无穷小量。随著年龄的增长，你才发现你用尽全力也赶不上命运的步伐。这时候，若不是以一种卑微的姿态走下去，便是结束自己的生命。

在过去，人们靠公式的推导来简化计算，线性代数主要用在理论分析和解方程，其重点是表达线性变换的特徵，在不同坐标上矩阵表示的相似性和标准形式。在计算机时代，人们关心矩阵的线性运算特徵，抽取矩阵的线性放大特性和近似，应用于海量的数据存储和计算。代表著线性算子的一般矩阵的分解，特别是SVD分解，便成为今日关注的重点。

线性代数的核心问题是解方程。高斯消去法启示的初等变换，至今仍是解线性方程组和矩阵计算的基础。行列式因研究线性方程组解而被引入，带来矩阵的表示，进而联系起抽象的代数。代数能应用于现实中，在於它具备解方程的有效手段。解方程的算法从空间的角度来看是坐标变换，不仅由此易于得出解的表示，也因此能够看到定性的结果。线性方程的解从理论到算法都有著清晰明确的结果。这导致成功的科学理论系统基本都是线性的。继续阅读：重修线性代数10──计算

生态学是一门新学科，与数学工作者沟通，交流，走向定量很重要，甚至可以说是决定性的。下面我从一个学生和客户的角度，谈谈生态学工作者的体会和感受，和对高等代数的理解和期望。下面的讨论中，我用抽象的数据，所有的变量都是对角矩阵，可以左乘，可以右乘，笃定有逆，可以做除法，可以做乘幂，完全跟实数一样。而且，假定所有的方程都有解，不用为解方程而费心，虽然一般认为，解方程才是代数的核心。

样的故事对应不同的人，正如周期函数中周而复始出现的相同的函数值，却对应不同的自变量。研究周期函数，只需研究一个最小周期的长度，即可实现通过有限通透无限，通过局部通透全局的目的。同样，在小说《命若琴弦》中，作家史铁生通过两个瞎子流浪说书的故事，用有限的文字清楚明白的讲述了无限的故事，告诉了我们“苦难是永远存在的而生活不能没有希望”这样一个朴实的人生哲理。

双摆随著时间的运动关系可用微分方程组来刻画，关于双摆的介绍，见维基百科。

近场动力学(Peidynamics, PD)理论是基於非局部作用思想建立的一整套力学理论体系，该理论通过求解空间积分方程描述物质力学行为，避免了基於连续性假设的传统模型在面临不连续问题时的奇异性和复杂性，成功应用于不同尺度各种不连续问题的模拟中，已成为当前国际计算力学及相关领域的研究热点。我将用三期的内容对近场动力学理论中的一些概念和方程做一个简要的介绍：（上）键与态，（中）本构关系与运动方程， （下）数值方法与应用软件。

高斯生在德国就成长为高斯，人口基数大本来是有优势的，中国想必也有类似小高斯那样的孩子，但是他们成为不了成年的高斯，就缺在那份文化底蕴上面（建议大家购买数学家们创办的《数学文化》杂志）。相关阅读：小孩子学数学要有闲情逸致

1972年，美国科学基金会（NSF）组织数学家对同行评议的可行性进行了数学模拟。采用运筹学模型的计算表明，一个项目，如果5位同行评议，置信度设置为60%，则样本数至少为67。也就是说，同行专家数据库的同行至少为67人，才能保证随机抽取5位专家评议一个项目准确率为60%。如果专家数增加到7人评议一个项目，则同行专家数据库数为120人。

分数阶动力系统理论

对湍流问题，目前比较认同的是NS方程，那么以这个通式为主线，把一系列研究文献按照某种特定问题排列起来（以发表时间为自变量），最终就会发现，这个系列没有收敛，因为通式被不断的修改（初、边值类；物性参数类；静压力类；计算方法类；以及方程约化类；等等）。由於NS方程本身+其它各类约束（或条件）并没有构成一个稳定的通式，因此，无法判决这一系列的研究是否收敛于某个确定性的解决方案。因此，我们有足够的理由认为：一系列发散性的研究并不会导向某个具有普遍性的解决方案（导向发现通式）。

当你站在小溪边看著水流在桥桩下，卵石边的漩涡时，有没有觉得那是一个很特别的东西？在今天的科学技术水平下，我们对溪中的水流可以说是了解得很透彻了。水流可以看成是无数微小的水“质粒”在经典力学下相互作用，并受著河床和引力的影响而运动。如果我们愿意，我们可以用计算机模拟来重现任何水流的状况，包括漩涡。但问题是：这样就算了解了漩涡了吗？

许多科幻电影和小说中，都有平行宇宙出现。在这些电影或小说中，主人公在不同的宇宙中出现，在故事开始时每一个宇宙都差不多，但此后的发展却各不相同。在有些宇宙中，主人公遭受失败甚至丧生，然而在另一些宇宙中却取得成功。甚至，由於某种神奇的、无法解释的机制，主人公从一个宇宙穿越到了另一个宇宙。那么，这些平行宇宙究竟是纯粹的幻想，还是也有一些科学依据？

概率和统计作为数学领域的一个重要分支，早已渗透到人们的工作和生活当中，小到人人都可以买到的彩票，大到如今热度不减的各种大数据，其中都蕴含了概率与统计的诸多内容。该系列文章，旨在尽可能地跳出让很多人“望而生畏”的数学公式，用平铺直述的话语将概率与统计中一些生涩的概念转为公众更容易理解的实际案例，让公众了解事物背后关于概率与统计的问题。首先，以我们熟知的骰子起始。

故事1：还帐：A君欠B君钱，A君钱包中有1元、5元、10元不等的钞票，A想搞清楚自己有多少钱可以还B君，他可采用了两种办法。第一种：把钱随机拿出来直接加起来得到最终钱数是多少。第二种：把钱拿出来放到桌子上，按相同面值的放一起，在分别计算1元、2元、5元，最后在把三个总数合起来就可以得到可还款数。第一种被认为是黎曼积分，第二种则是勒贝格积分。注：勒贝格自己打的一个形像的比喻，为了说明说出两种积分的区别。一般数学分析中积分被称为黎曼积分。

一致连续是指函数在一个区域上满足一定关系。连续函数在有界闭区域上是一致连续。从几何角度来考虑一致连续的意义？或者说一致连续函数有怎样好的性质？

在大学本科里学习数学专业，并不意味著就要永远学习数学，离了数学自己就一无是处。数学专业是长线专业，很多有眼光的家长都会建议孩子本科学习数学，到硕士研究生，甚者到博士研究生阶段，换到经济管理类的专业，统计专业等方向。相关阅读：数学专业考研的那些事

回避悲剧是任何人都必须面对的一个人生课题；无它，只是达官贵人、土豪名流、学界大牛的悲剧内涵迥异于乞丐、穷人、底层草根而已。该博文是一个社会底层人从痛苦、孤独、人情、世态、人性、历史角度挤出的一些见解。继续阅读：从学生角度振兴南开数学（一）：流水账故事之帮学生与帮自己，从学生角度振兴南开数学（二）：体制外的不对称事业与人生

数学中的许多重要思想、概念是从物理学中产生，数学问题的解决、发展，又促进物理学问题由量变到质变的深入、广泛的发展。物理学和数学就成为相互紧密配合、相辅相成，的最基本的科学。

在高光谱遥感图像目标探测领域，有两个基石性算法：一个是经典的匹配滤波器（MF），一个是能量约束最小化（CEM）。其中CEM算法最早是由Harsanyi（1993）在其博士论文中提出。由於CEM算法简单，性能优良，其一问世便引起业内同行的追捧，并在别的一些领域也掀起了一定的波澜。时至今日，CEM在遥感图像目标检测领域可以说是风头正劲，成为Chein Chang I学派（本领域的几个主要刊物的主编均出自该学派）的两大镇山法宝之一。MF和CEM都源于信号处理领域（遥感领域的原生算法很少，大部分都移植于其他领域）。这两个算子虽然数学表达形式比较接近，但是由於算法的原理不同，从来没有研究人员对它们从理论的角度进行性能比较。在遥感图像目标探测领域，二者堪称一时之瑜亮。也正因为如此，它们先后被收录进我们领域应用最为广泛的商业软件ENVI中。但是最近，我们的一个工作改变了这个局面。我们严格证明了“MF永远优于CEM”，这相当于从理论上宣判：从此，CEM可以退出历史舞台了。

总体上讲，数学在下一个 5 年计划中还会保持一个高速发展的态势。对於我们国家来讲，下一个阶段数学发展的目标是：在数学的基础理论方面，扶植一些以年轻人为主的研究团队，争取产生若干在国际上有重大影响的成果，培养和造就一些具有竞争菲尔兹奖（Fields Medal）实力的青年数学家；在数学的实际应用方面，继续鼓励数学家关心实际问题，取得支撑解决国家重大战略需求的重大成果，培养一批具有交叉学科背景和核心攻关能力的研究团队。在国际上若干前沿领域形成开创性和引领性的方向，在承担和解决国家重大急需的问题方面做出重要贡献，促进中国由数学大国向数学强国的快速转变。

深度学习在特徵提取与模型拟合方面显示了其潜力和优势. 对於存在高维数据的控制系统, 引入深度学习具有一定的意义. 近年来, 已有一些研究关注深度学习在控制领域的应用. 本文介绍了深度学习在控制领域的研究方向和现状, 包括控制目标识别、状态特徵提取、系统参数辨识和控制策略计算. 并对相关的深度控制以及自适应动态规划与平行控制的方法和思想进行了描述. 总结了深度学习在控制领域研究中的主要作用和存在的问题, 展望了未来值得研究的方向。

科学的自我纠错机制是：在现有的普遍性理论不能概括某类个别性时，不是去否定普遍性理论，而是基於对许多个别性的共性的研究来建立新的理论（发现新的普遍性）。与此同时，也不容许用个别性实验事实来否定普遍性理论。科学研究的主体是：区分出不同的普遍性理论。

在与数学有关的文献中，Operator是个常用词，译文为“算子”。这个译法比较统一。偏物理方向的文献译为“操作”。Generator 这个词译法比较多，如：生成子，发动子，发生子，基本子。我经常思考英文文献上为何采用这个词汇。结论是：形像。比用抽象词汇形像。：（算子，生成子），（算子，发动子），（算子，发生子），在汉语语境下，远不如（操作，基本子）的含义直观。

在数理统计学里，样本相关系数 r 的置信区间一般用Fisher z 变换来估计。亦即皮尔森积矩相关系数 &hro;（Pearson product-moment correlation coefficient）在有限的样本容量 n 之下的置信区间（confidence interval）。其方差（variance）1/（n-3）是怎么求出来的？相关阅读：[求助] 反正切函数 arctan(x) 的泰勒展开式，收敛域最好是实数轴。

链路预测是网络挖掘中的一个基本问题。链路预测本质上是在动态、含有噪声的数据集上进行知识发现和拓扑重构[2]。 良好的链路预测模型还可以用来对复杂网络的演化模式进行刻画。在已有的链路预测模型中，很多是基於局部信息的相似性算法[5][6]。虽然这些基於局部信息的模型简洁精炼且时间复杂度较低，但是准确性却往往受到限制。其原因是：网络中大量的全局拓扑信息被忽略了，而这些全局信息却影响甚至决定了网络的生长模式。网络的全局拓扑信息可以由邻接矩阵来表示──在邻接矩阵中，0值所出现的位置即可以表征不存在的连边，也可以表征那些由於干扰而缺失的或者在将来有可能出现的隐含连边。 所以在本质上，基於全局信息的链路预测可以被视为为矩阵中那些不为0的元素恢复它的原始值。

《普通高中数学课程标准（实验）》开宗明义说：“数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。”但是，在人教版普通高中数学教材必修1的《主编寄语》中却说：“她（指数学，拟人化了，博主注），是一切科学和技术的基础”。继续阅读：普通高中数学教材又怪事，普通高中数学教材再怪事

近场动力学(简称PD)理论是国际上刚兴起的基於非局部作用思想建立的一整套力学理论体系，该理论通过求解空间积分方程描述物质力学行为，避免了基於连续性假设建模和求解空间微分方程的传统宏观方法在面临不连续问题时的奇异性，所以特别适用于模拟材料的损伤和断裂过程。然而，因为PD模型的数学理论较深，且新概念多用英文表述，所以很多朋友在学习时会遇到一些困难。在朋友的启发下，我想到在微信上建立此公众号，希望将研究PD理论的朋友们聚集起来，分享PD研习路上的点点滴滴，一起解决各自的难题，共同推动PD理论的发展！

日常工作中，文科学生极少使用编程语言解决现实定量问题，而经常使用微软Office系列办公软件中的Excel来进行简单的数据处理和分析。因此我们试图使用Excel中的众多函数来构建面向问题的算法。

小学六年级就知道，跟大学本科才知道，真的有很大的不同！

虽然概率的定义不难懂，好像人人都会用，但你可能不知道，概率计算的结果经常违背我们的直觉，概率论中有许多难以解释、似是而非的悖论。不能完全相信直觉！我们的大脑有它的误区和盲点，就像开汽车的驾驶员视觉中有“盲点”一样，需要几面镜子来帮助克服，我们的思维过程中也有盲点，需要计算和思考来帮助澄清。概率论是一个经常出现与直觉相悖的奇怪结论的领域，连数学家也是稍有不慎便会错得一塌糊涂。现在，我们就来看看经典概率中的几个著名悖论和谬误。

悖论有很多，数学史上最出名的悖论应该属於芝诺悖论和罗素悖论，正是这两个悖论引起了数学史上第二次和第三次危机。关于悖论的定义有很多，我们给出简单的说法尽量避免数学符号的出现，我们选择如下的定义：“一 个命题构成一个悖 论。如果由 它的 真 可 以 推 出它的 假,而由它的假又可以推 出它 的真。”第二次数学危机萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由於对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论，我们称之为芝诺悖论。