《微分几何及其在力学中的应用》绪论

武际可   黄克服

       我们二人合作编写的《微分几何及其在力学中的应用》一书，即将由北京大学出版社出版，现将该书的序言贴在这里，供同行们参考。

绪        论

       几何是关于空间的科学。微分几何是利用微积分研究空间构造的数学学科。

人类关于空间的认识是逐步深化的。最早是关于日常经验中的三维欧氏空间的认识。约公元前300年，古希腊的欧几里德写成的巨著《几何原本》奠定了欧氏几何的基础。1637年法国的笛卡尔（R. Descartes, 1596－1650）发表了他的《几何学》奠定了解析几何的基础，从而把分析和几何图形联系了起来。1788年法国的拉格朗日(J. L. Lagrange，1736－1813)出版了巨著《分析力学》，引进了高维空间来描述动力系统的状态。德国数学家和天文学家高斯（J. K. Gauss, 1777－1855）的研究工作推进了曲面的微分几何的发展，之后他的学生黎曼（G. F. B. Riemann,1826－1866）系统发展了微分几何，奠定了流形与黎曼空间的基础。

力学同数学的发展是同步的，或者说，有什么样的数学就有什么样的力学，反过来在一定的程度上也可以说有什么样的力学就有什么样的数学。力学的研究经常是要了解客观事物的质和量两个侧面，而质和量是不可分的，所以力学同数学自古便有紧密联系的传统。1627年，我国出版了最早的力学著作，由传教士邓玉函（瑞士人）口授、王徵笔录的《远西奇器图说》。该书在谈到力学与数学的关系时说：“造物主之生物，有数、有度、有重，物物皆然。数即算学，度乃测量学，重则此力艺之重学也。重有重之性。以此重较彼重之多寡，则资算学；以此重之形体较彼重之形体之大小，则资测量学。故数学、度学、重学之必须，盖三学皆从性理而生，为兄弟内亲，不可相离者也。”这里说的数学就是计算，度学就是几何，而重学即是力学。

意大利文艺复兴时代的大师达·芬奇（Leonardo da Vinci,1452－1519）说过： “力学是数学科学的天堂，因为，我们在这里获得数学的成果。”牛顿在他1687年出版的《自然哲学的数学原理》的绪言中则把几何学看作力学的一部分，他说：“几何学是建立在力学的实践之上的，它无非是普通力学的一部分，能精确地提出并论证测量的方法。”

    力学是研究物质在空间运动的学科。所以力学尤其是和几何学有着不可分割的联系。我们可以把从阿基米德开始的有限自由度力学与数学的关系的特点归纳如下：

    从阿基米德到哥白尼、斯梯芬时代，力学的研究内容主要是静力学和天体的圆运动。在几何方面的主要工具是欧氏几何。相应的计算工具是常量的代数运算。

    从伽利略、惠更斯到牛顿、莱布尼兹的时代，力学研究的主要内容是自由质点的运动，特别是解决在引力作用下的自由质点的运动。在几何方面的主要工具是解析几何，特别是有关圆锥曲线的解析几何。在计算方面的主要工具则是引进了变量，发明了微积分，而且微积分的发明人牛顿与莱布尼兹自己也是著名的力学家，是那个时期的力学学科的开拓者。

    从拉格朗日到哈密尔顿和雅科比时代，力学主要的研究内容是约束运动。在几何方面的主要工具是引进了n维空间的概念，后来经过黎曼的严格化，就是流形或黎曼几何。而在分析方面的主要工具则是引进了泛函的概念，并且发展了求泛函极值的方法，也就是变分法，拉格朗日自己就是早期开拓变分法的主将。

    在上一世纪末，力学又进入了一个重要的新阶段，这就是以庞卡莱与李亚普诺夫为代表的发展动力系统的定性理论时代。定性理论与运动稳定性的研究本来是从天体力学中提出来的一个理论课题，之后发现在一切力学系统中，甚至在由一切非线性常微分方程决定的系统中都有普遍理论与应用意义。简单说，定性理论是研究系统解的性质随参数而变化的方向，例如有没有周期解的变化、有没有极限环的变化、解稳定与不稳定的变化等等。相应的几何方面的主要工具就是拓扑学和微分拓扑学，而相应的计算工具是同伦与外微分等，力学中的定性理论的开拓者庞加莱本人也是拓扑学的奠基人之一。至今经过了100多年的发展，它仍然是世界上都很关心的研究领域。

   这些力学历史发展的事实说明，在力学发展的每一个关键时期，总是要同从前没有研究过的空间和数量模型打交道，力学家并不是去坐等数学家去解决好了才动手工作，而是自己深入到数学中去发明新的数学工具，或者在与数学家的合作中加以解决。因此，在整个力学史上，许多开拓新领域的大力学家也同时是大数学家。即使是沿着他们开拓的路子前进的后继力学家，也必须熟悉前人发明的这些数学工具。

    既然力学是研究物质在空间的存在和运动形式，因此对于空间的深入理解就成为深入力学研究的决定性的条件。但是，多年来，在力学和技术的教育中，一直有一种忽视几何的偏向。一般说来，人们对于分析方面的培养是足够重视的，而在几何方面的大学教育中只涉及很少的知识，一直是只限于解析几何。这种情况近年来正在逐步改变。从60年代起，在世界范围内，近代微分几何知识迅速向物理界和力学界普及，出现了许多好的微分几何学教科书。古老的力学学科被以现代微分几何语言重新表述，从而开辟了许多新的研究方向。在力学中随着线性问题的逐渐成熟，非线性力学的研究正在兴起，而非线性和大范围的力学问题的研究又要求人们熟悉流形几何。本书正是为适应这种需要和发展趋势而写的。它打算为力学专业的研究生了解现代微分几何及其和力学的联系上提供一个入门的导引。

全书共有六章。第一章是关于向量和张量的代数。第二章是讨论n维欧氏空间的曲纹坐标、向量和张量分析，其中用了相当的篇幅介绍曲线和曲面论。曲线论和曲面论本来是属于初等微分几何的内容，但是考虑到现在的高等学校本科生力学专业一般没有开设这门课，所以在这里进行了系统的介绍。第三章介绍的是黎曼几何。第四章介绍外微分及其应用。第五章介绍李群及其应用。第六章介绍动力系统和辛几何。在内容的叙述中，我们着重在它们和力学理论的联系上举了一些例子。

学习数学不做习题是不行的，对于书中讨论的问题比较明显或证明比较简单的内容，我们留给读者自行计算或证明，此外我们在每一章的后面都附了少量习题

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