Giovanelli的理论只是一个定性的、初步的想法。而要解决物理问题，需要定量的研究。最早试图定量研究磁重联的模型应该是1957年提出的Sweet-Parker模型。

 

这个模型应该被称为磁重联的“一维”模型：因为假设了在等离子体携带磁力线进入“扩散区”的方向（“入流”方向，通常选作为x-方向）上的特征尺度远远小于磁力线重联以后携带等离子体离开“扩散区”的方向（“出流”方向，通常选作为y-方向）的特征尺度。至于另外一个方向（z-方向），我们可以称之为“transparent”方向。也就是说，这个方向上的特征尺度更长，所以可以看成是“透明”的，即任何一个z=常数的横截面都应该是相同的——完全忽略了沿着这个方向的变化。

 

可能有人会问：忽略了z-方向上的变化，那应该是二维模型呀？不错，是二维的。但是因为“出流”方向（y-方向）的变化也是大尺度的，我们在实际的计算中只考虑了这个尺度特征尺度，而没有计入具体的空间变化形式。

 

这个模型的物理图像是这样的：如果在等离子体中存在一个沿着z-方向的“电流片”，那么电流的方向显然可以看成“transparent”方向。既然是“片”其宽度一定远远大于厚度。于是我们又可以简化其在宽度方向的变化。如果其厚度很薄，在流体近似下可以忽略，那我们就有了电流奇异性（current singularity），而这个奇异性正是Sweet-Parker模型的关键（不过，这一点人们在三十多年后才认识到）。

 

显然，电流片两侧的磁场是反向的。如果这些反向的磁力线因为外界的驱动或者磁场自身的自由能而相互“靠拢”（merging）。磁重联就发生了。Sweet-Parker模型假设电流片外的物理过程是“稳态”的（steady state），dF/dt = 0 —— 这里和后面d/dt, d/dx都应该是偏导数，可惜没有相应的符号。那么磁通量的变化率（单位时间流入电流区的磁通）应该等于v_x dF/dx，这里v_x显然是等离子体“入流”的速度，这里的F是磁通。在模型的二维几何下，某一点的磁通定义为：从该点到原点连一条截线，通过这条截线的磁力线根数。根据这个定义，我们有：v_x dF/dx = v_xB_y。这在物理上很明显：就是单位时间在x-方向被带进电流片区的沿着y-方向的磁力线的根数！

 

这就是Sweet-Parker模型的“外区解”（outer region solution），再简单不过！

 

那么，电流片内呢？

 

因为电流片很薄，两边的磁力线merging，所以电流片内v_x趋近于零！磁通的变化只有dF/dt这一项。从磁感应方程，DF/Dt = dF/dt = hJ = hB_y/D。这里D/Dt用来表示全导数，h是电阻率，J是电流密度，D是电流片的半厚度。后面两个等号前面应该还有常数，为简单起见我们把它们无量纲化了。这个方程就是Ohm定律：电场等于电阻乘电流——因为磁通F显然就是磁场的矢势的z分量，其时间微分就是没有静电分量的电场（差一个光速因子），又是再简单不过！关键点在于把电流J_z= dB_y/dx（无量纲化了前面的常数因子）简化成B_y/D。这很明显：横跨电流片DB_y/Dx=2B_y/2D。D趋向零就等于dB_y/dx。

 

另一个关键点是将“内区解”（inner region solution）的磁通变化率DF/Dt = hB_y/D与“外区解”的磁通变化率DF/Dt = v_xB_y相“匹配”（matching），得到电流片的半宽度D= h /v_x。

 

这是Sweet-Parker模型的神来之笔！就这么一个等号，可以写整整一厚本数学书，名字叫：《渐进方法》（Asymptotic Methods）。具体到这里，用的是“边界层”理论（boundary layer theory）。当然，这么“匹配”会有人不同意的。更严格的理论是在60年代中期发展的。而Sweet-Parker模型真正适用的非线性电阻磁重联理论里，严格的理论一直就没有发展！！（有志气的年轻人不妨做一做。）可是数值模拟和实验研究都证明了这个简单模型的正确！Amazing！

 

再下面的就是简单的不可压缩性：v_xL_y= v_yD。这里L_y就是电流片宽度方向的特征尺度，v_y则是“出流”的速度（物理上可以证明等于当地的Alfven速度）。带入D= h /v_x，我们得到Sweet-Parker模型最重要的结论：磁重联的速率（磁力线进入电流片即“扩散区”的速率）

 

              v_x～D～h ^1/2

 

这个结果，虽然屡受挑战，但在电阻磁重联理论中“独领风骚”的地位至今难以动摇。

 

这再次告诉我们：只要抓住了关键，就可以用最简单的模型（这个模型仅仅是个一维模型——另一维的info仅仅是在不可压缩性里引入了一个尺度L_y）得到最重要的结果。

 

我们常说：某个工作有“物理”。这就是“物理”！

 

这个模型是1957年Sweet在一次会议上提出的几何模型和设想（会议文集1958年发表）；同年Parker（就是提出“太阳风”理论的那位）在JGR上发表了第一篇有上述推导过程的论文。

 

当然，这个模型仅仅是一个“半定量”的“scaling”模型。“严格”的理论是后来才发展起来的。

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