伽利略变换是经典力学中描述不同惯性参考系之间关系的数学表达式。在讨论波动方程在伽利略变换下的不变性时，我们首先需要明确波动方程的形式以及伽利略变换的定义。波动方程是一个描述波（如声波、电磁波等）传播的偏微分方程，其在三维空间中的一般形式为：\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \]其中，\( u(x, y, z, t) \) 是波函数，\( c \) 是波速，而 \( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算子，表示空间的二阶导数。伽利略变换是一种线性变换，它描述了在两个相对速度为 \( v \) 的惯性参考系之间的坐标和时间变换。如果一个事件在参考系 \( S \) 中的坐标和时间为 \( (x, y, z, t) \)，在另一个以速度 \( v \) 相对于 \( S \) 运动的参考系 \( S' \) 中的坐标和时间则为 \( (x', y', z', t') \)，伽利略变换可以表示为：\[ x' = x - vt \]\[ y' = y \]\[ z' = z \]\[ t' = t \]现在，我们来证明波动方程在伽利略变换下的不变性。首先，我们考虑在 \( S' \) 参考系中的波动方程：\[ \frac{\partial^2 u'}{\partial t'^2} = c^2 \nabla'^2 u' \]其中，\( u'(x', y', z', t') \) 是在 \( S' \) 参考系中的波函数。由于 \( S \) 和 \( S' \) 是相对运动的，我们可以假设 \( u' \) 和 \( u \) 之间存在某种关系。根据伽利略变换，我们有：\[ u'(x', y', z', t') = u(x, y, z, t) \]将伽利略变换的逆变换代入 \( u' \) 中，我们得到：\[ u'(x', y', z', t') = u(x' + vt', y', z', t') \]现在，我们需要计算 \( u' \) 关于 \( t' \) 和 \( x' \), \( y' \), \( z' \) 的偏导数。由于 \( y' \), \( z' \) 不随时间变化，\( u' \) 关于 \( y' \), \( z' \) 的偏导数与 \( u \) 的相同。对于时间偏导数，我们有：\[ \frac{\partial u'}{\partial t'} = \frac{\partial u}{\partial t} \]对于空间偏导数，考虑到 \( x' = x - vt \)，我们有：\[ \frac{\partial u'}{\partial x'} = \frac{\partial u}{\partial x} \]由于 \( y' = y \) 和 \( z' = z \)，\( u' \) 关于 \( y' \) 和 \( z' \) 的偏导数与 \( u \) 的相同。现在，我们计算 \( u' \) 的二阶偏导数。对于时间的二阶偏导数，我们有：\[ \frac{\partial^2 u'}{\partial t'^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \]对于空间的二阶偏导数，考虑到 \( x' \) 的变换，我们有：\[ \frac{\partial^2 u'}{\partial x'^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]由于 \( y' \) 和 \( z' \) 不随时间变化，\( u' \) 关于 \( y' \) 和 \( z' \) 的二阶偏导数与 \( u \) 的相同。将这些结果代入 \( S' \) 参考系中的波动方程，我们得到：\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) \]这与原始的波动方程相同，因此我们证明了波动方程在伽利略变换下是不变的。这意味着在所有惯性参考系中，波动方程的形式保持不变，这是经典力学中的一个重要特性。