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杂技力学之五:呼啦圈 精选

已有 6436 次阅读 2021-8-23 12:48 |系统分类:科普集锦

  体育和娱乐活动里将细藤圈作为道具有着古老的历史。投掷细藤圈以套中地面目标为乐的游戏在我国流传已久,也曾是古希腊的运动项目。在现代体育的艺术体操中,大藤圈也是规定的道具之一。将大藤圈套在身上靠扭动腰肢旋转的游戏最早出现在 1957 年的澳大利亚。一家 Toltoy 玩具公司用竹制成这种细圈,后来改为塑料圈,一年内售出了 40 万只。看到商机的两个年轻美国玩具商将这个新奇玩意带到美国,竟成为老少咸宜的娱乐活动席卷全国。由于扭动身体的舞姿很像夏威夷土著称为 Hula 的草裙舞,呼啦圈 (Hula hoop) 从而得名。全美呼啦圈竞赛每年举行,最长呼啦圈旋转时间、最大最重的呼啦圈、一次转动最多的呼啦圈、边转呼啦圈边跑的最长距离等世界纪录不断刷新。呼啦圈于 80 年代传入我国,成为一种减肥瘦身的健身运动,也成为杂技舞台上的新节目 (图 1)。2020 年一位 90 后女孩竟能一次转动 300 个呼啦圈,创造了吉尼斯世界纪录。


呼啦圈1.png

1  呼啦圈表演


呼啦圈的玩法并不复杂。将一个呼啦圈套在腰部用力一甩,让它围绕身体旋转起来,然后不停地扭动腰肢,使呼啦圈持续地旋转(图 2)。扭腰动作愈剧烈,呼啦圈转动愈快,愈不容易往下掉。不过对于初学者,这种看似简单的动作也必须多次练习才能掌握。


呼啦圈2.png

2  扭动腰肢转动呼啦圈


从力学观点分析,呼啦圈是圆环在非定常单面约束下的三维运动。为便于分析,将复杂的动力学问题分两步进行。先不考虑圆环沿垂直方向的运动,仅讨论在水平面内的平面运动。设 O为此平面内的固定点,以 O0为原点建立惯性坐标系 (O0-xyz),z 轴为垂直轴,x, y 轴在水平面内。设转呼啦圈的人十分发福,用一个圆柱体近似地代表身体,以半径为 r 圆心为 O的圆 C表示圆柱体的截面。C的中心 O围绕固定点 O作半径为 的匀速圆周运动。站立在原地的人绕垂直轴不能转动,只能随同 O点平动。将一个比圆柱体大的半径为 R 的刚性圆环 套在圆柱体上,r。设圆柱体与圆环在接触点 P 处无滑动,速度的大小和方向均保持一致。

设在 = 0 初始时刻,O点的初始位置为 O10,与圆环与圆柱体接触点 的初始位置 P均在 轴上。圆弧 C 与 C在 P点处相切,圆环 C 上与 P重合的接触点为 Q0(图3)。设在 t 时刻,圆柱体中心 O沿半径为 的圆轨迹 C绕 O转过 φ 角从 O10 转至新位置 O1,∠O10O0Oφ。圆柱体 C随 O平动至新位置,与圆环的接触点移至 P  点,圆环 C 上与 P  点重合的接触点为 Q 接触点的原位置 P和 Q亦随同圆柱体和圆环的运动改变位置。平动刚体 C在 P 点处的速度与 O点相同,均为 v= a(dφ/dt),设 P  点相对 O点转过的角度为 ∠P0O1P = ψC在 P 点处的速度应同时满足 v= r(dψ/dt),从而导出 dψ/d= (a/r)(dφ/dt)。以 ψ = φ = 0 为初值,积分后得到 ψ = aφ/r。圆环 C 上的接触点 相对圆环中心 O转过的角度为 ∠Q0OQ θ,依据接触点处无滑动的基本假设,P0P 与 Q0弧长相等,rψ ,得出 θ = rψ/RO1,O,P(Q)三点共线。



呼啦圈(改).jpg

图3  受约束圆环在水平面内的运动


利用矢量式 O0O O0O1+O1O,导出圆环 C 的圆心 O 沿 x, y 轴的坐标:

                                                呼啦圈18.png                                                      (1)

设 O绕 O转动的角速度为 ωdφ/dt,圆环 C 在 C上的滚动角速度为 ω = dψ/dt则 ω = aω0/r。圆环 的转动角速度 Ω = dθ/d不同于滚动角速度 ω,二者之间有以下关系:

                                                                呼啦圈4.png                                                                               (2)

作为两种极端情况,C1 缩成一点时 = 0Ω = 0,圆环角速度为零。C1 与 C 的半径相同时 R,圆环角速度与滚动角速度相等,Ω ω

将式 (1) 对t微分两次,得到

                                        呼啦圈5.png                                        (3)

设圆环的质量为 m,圆环在接触点 P 处受到圆柱体的法向约束力 F和切向摩擦力 F 的作用。列写圆环在 (x, y) 平面内的质心运动方程:

                                               呼啦圈6.png                                                           (4)

将式 (3) 代入式 (4),且代入 ω = aω0/r,解出

                                         呼啦圈7.png                                  (5)

其中  γ φ-ψ 为 O1O与 O1的夹角

                                                       呼啦圈8.png                                                            (6)

  式 (5) 中的摩擦力 满足库伦摩擦定理,以静摩擦因数 为比例系数:

                                                                呼啦圈9.png                                                                                    (7)

式 (5) 表明圆柱体对圆环的法向正压力 F和摩擦力 均来源于腰肢的扭动。单面约束条件 F> 0  = 0 时,即腰肢不扭动时也能满足,但切向摩擦力消失。若初始时甩动圆环产生滚动角速度 Ω,依靠惯性应也能继续滚动,但不可能持久。因为缺少腰肢扭动提供的驱动力 F,而柔软的身体与圆环接触点处存在因变形引起滚动力偶 M Mf  与正压力成正比, Mf  δFn,比例系数 δ 为滚阻系数,取决于圆环和身体接触区的范围。圆环在圆柱体扭动产生的摩擦力 F 的推动下,角速度 Ω 应满足动量矩定理:

                                                     呼啦圈10.png                                                                         (8)

其中 mR为圆环对中心轴的惯性矩。可据此做出判断: 

                                             呼啦圈11.png                                                      (9)

仅当 FR ≥ δF条件满足时,呼啦圈的旋转运动方可能持续进行

  分析了水平面内的运动以后,下一步分析呼啦圈在垂直平面 (x, z) 内的运动(图4)。转中的呼啦圈能否往下掉落,取决于圆环的重力 m与 P 点处沿垂直方向的摩擦力 F能否平衡。由于最大垂直静摩擦力为 fF,沿 轴的平衡要求满足

                                                                      呼啦圈12.png                                                                              (10)


呼啦圈14.png

 4   受约束圆环在垂直平面内的运动


圆环的滚动角速度愈大,正压力和摩擦力愈大,圆环越不会掉落。将式 (5) 代入上式,导出

                              呼啦圈13.png                   (11)

其中 ω0,cr 为腰肢扭动的临界角速度,只要扭动角速度 ω超过此临界值,呼啦圈就不会掉落。

从图 4 看出,圆环的重力 m与摩擦力 F构成一对力偶 mgR。因此圆环平面必须偏离水平面一个微小角度 ε ,使圆环的离心惯性力 F与法向约束力 F以 Rε 为力偶臂,构成方向相反的另一对力偶以保持平衡:

                                             呼啦圈15.png                                       (12)

从中导出圆环的偏角ε

                                                                 呼啦圈16.png                                                        (13)

圆环的转动角速度 Ω 愈大,偏转角 ε 就愈小,圆环愈接近水平。更准确的分析还必须考虑圆环转动的惯性效应,即由于圆环偏转使角速度矢量 Ω 偏离圆环主轴而引起的陀螺效应。推导过程在附录中补充列出。

呼啦圈运动简便易行,不须进健身房就能起健身作用而受到欢迎。不过呼啦圈是强度很大的运动,主要靠腰部用力。过度用力可能会引起腰肌和腰椎的劳损,反而得不偿失。这倒是喜爱呼啦圈运动的朋友们要引起注意的。


(改写自:刘延柱. 呼啦圈的力学. 力学与实践,201032(1): 102-104

刘延柱. 趣味刚体动力学(2)2.2. 北京:高等教育出版社,2018


         附录:考虑陀螺效应的圆环倾斜角计算


呼啦圈17.png






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