刘延柱
杂技力学之一:顶技 精选
2021-8-2 10:28
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杂技艺术是中国的传统艺术之一,已有2000多年的悠久历史。杂技的许多精彩表演蕴含着深刻的力学原理。博文“抖空竹与欧拉方程”、“谈狮子滚球,驱动力来自何处?”、“独轮车和赛格威车为何直立不倒?”里已讨论过几种与杂技相关的力学问题。近期发出的关于运动稳定性的博文内容太理论化,有必要换个较轻松的话题。实际上杂技表演中的力学现象多与稳定性有关,不妨作为对运动稳定性的理论知识提供应用的实例。本文先从最常见的“顶技”开始讨论。

在顶技表演里,演员用头,额、鼻或肩,甚至口衔棍棒顶着各种物件,巧妙掌握物体的平衡维持稳定不倒。所顶的物体五花八门多种多样,但所有的顶技表演都归结为同一个力学模型,即以动点为支点的一个倒置的复摆。所蕴含的力学问题是:复摆的不稳定直立状态是如何依靠支点的运动转化为稳定的。

一种最古老也是最华丽的顶技“耍幡”作为具体的讨论对象。它起源于晋代,已有一千多年历史。是中国民间的传统绝技,也是国家级的非物质文化遗产(图 1)。幡是皇室出行仪仗中装饰华丽的长条形旗帜旗手将幡旗在手中耍舞能显示军队的勇武智慧,鼓舞斗志。耍幡在清代盛极一时,是朝佛、庆典等活动的常备项目。根据《百戏竹枝词》的记载:

"幡为四五尺高,上悬铃锋,健儿数辈舞之,指挥甚如意,佐以金鼓声,观者如堵墙焉。"


image.png

 图1   耍幡


表演耍幡的艺人将十余米高、几十斤重的幡竖起,托在手中或支在肩膀、脑门、下巴、项背上,上下飞舞、交替腾挪,舞出许多花样,而幡始终竖立不倒。将幡简化成重心在上支点在下的复摆。众所周知,倒置复摆的平衡状态是不稳定的,稍受扰动即倾覆。但此现象仅对支点固定的复摆而言,而幡在表演者身上的支点是不固定的。在耍幡过程中,熟练的耍幡艺人能根据幡的状态随时控制支点的运动使幡保持稳定。

设复摆的支点 与地面保持等高度,O 为与  高度相等的固定点,以 为原点建立惯性坐标系 (O-x0y0)x轴沿  P  点的运动方向,y0 轴为垂直轴。以  为原点建立动坐标系 (O-xy)轴与 x轴重合,轴平行于 y轴。列写矩心为 的动量矩定理时,将 (P-xy) 取作动参考坐标系,且将坐标系运动引起的惯性力视为外力,对定点的动量矩定理即转变为对动点的动量矩定理。


顶功1.png

 2   支在动点上的倒置复摆


   OP=x复摆的摆轴与y轴的夹角为 θ,设复摆的质量为 m,其相对 P 点的转动惯量为 J,质心与 P 点的距离为 l(图 2),基于上述对动点 的动量矩定理列出

                                                         顶功2.png                                        (1)

忽略 θ  的二次以上微量,简化为一次近似方程:

                                                                顶功3.png                                                            (2)

若支点固定不动,则 的导数为零,此二阶线性系统的特征值为 λ1,2 = ±(mgl/J)1/2。因存在正实数特征根,表明支在固定点上的复摆为不稳定平衡。根据前文 “李雅普诺夫一次近似运动稳定性理论浅释” 中的说明可以断定,原系统 (1) 的平衡也不稳定。

对于动支点情形,为使包含两个未知变量 θ, x 的方程 (2) 封闭,还须补充给出表演者对幡的控制规律。在表演过程中,表演者密切观察手中托起的幡的状态,如发觉幡向一边倾斜,立即通过支点朝倾斜方向对幡用力。这个控制过程先用以下线性规律近似地描述:

                                                                          顶功4.png                                                                                (3)

代入式 (2),得到仅含  θ  的微分方程:

                                                                顶功5.png                                           (4)

若方程 (4) 的所有系数均为正值,则特征值为纯虚根:

                                                               顶功6.png                                                      (5)

因此只要满足 >g 条件,就能使倒置的复摆稳定。根据李雅普诺夫一次近似稳定性定理,此结论不能判断原系统 (1) 的稳定性,但可用于解释实践中已观察到的稳定现象。

复摆受扰后在地垂线附近作微辐摆动。将简化为长度为 2的细杆,则 = 4ml2/3,周期为

                                        顶功7.png                                      (6)

杆愈长则周期愈长。对于长度超过 10米的幡,其摆动周期极长,幡上的缨络、小旗彩绸迎风飞舞产生的空气阻尼更使摆动过程延缓,表演者得以从容不迫地完成霸王举鼎、苏秦背剑等各种精彩动作。

  若表演者对幡的控制动作极灵敏,不待幡出现倾斜角 θ,只要幡有向一边倾斜的趋势,有角速度 dθ/dt 出现时,即能被感知而对幡施加控制力。则可将控制规律 (3) 修改为

                                                                   顶功8.png                                                                (7)

代入式 (2),化作

                                             顶功9.png                                            (8)

解出特征值为

                               顶功10.png                         (9)

若满足以下条件:

                                          顶功11.png                                                (10)

则特征值的实部均为负值,复摆为渐近稳定。根据李雅普诺夫一次近似稳定性定理,线性系统和原系统 (1) 的零解均为渐进稳定。

   一旦幡被表演者脱手抛起,转变为悬空状态时,对其运动的描述必须改用对质心的动量矩定理。由于重力对质心的力矩为零,幡对质心的动量矩守恒。表演者只要在脱手时避免幡出现初始角速度,随后在空中必保持竖直状态不变。

   耍幡是杂技表演中形形色色的顶技功夫之一。上述力学分析适用于所有的顶技表演。其稳定性的保持均得力于支点的受控运动,而控制规律的实现则取决于表演者的熟练技巧和深厚功底,就不是一朝一日所能达到的了。


         (改写自:刘延柱. 漫谈耍幡. 力学与实践,2009,31(5):100-101

   刘延柱. 趣味刚体动力学(2)2.4. 北京:高等教育出版社,2018







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