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受拉扭直杆与螺旋杆的Lyapunov稳定性 精选

已有 4069 次阅读 2021-7-12 09:25 |系统分类:科普集锦

1.       受拉扭直杆螺旋线平衡的Greenhill条件:

前篇博文 “DNA超螺旋形态的弹性杆模型” 里叙述了受拉扭直杆的 Greenhill 条件。且利用此判据解释了弹性杆超螺旋形态的形成过程,但未加证明。本文先对 Greenhill 条件给出证明,然后讨论满足 Greenhill 条件所形成的螺旋线平衡状态的稳定性。并基于 Lyapunov 稳定性概念判断受拉扭直杆和螺旋杆的平衡稳定性,得出的结论与传统的欧拉载荷理论相悖,讨论产生这种差异的原因。

将杆的两端连线作为 Z 轴,分别作用沿 轴互相平衡的外力  -F、外力矩 M0  -M0 。过杆上任意点 P作与 轴正交的平面,与 Z 轴交于 O 点。以 为原点,建立定坐标系O-XYZ。讨论 P 点处的截面姿态时,将O-XYZ的原点移至 点,成为 点处的参考坐标系P-XYZ(图1)。


image.png

      图弹性杆的受力状态与参考坐标系


利用博文 “螺旋杆--弹性杆的特殊平衡形态” 里建立的与欧拉方程类似的圆截面弹性杆平衡方程:

              稳定性1.png           (1a)

               稳定性2.png           (1b)

                                               稳定性3.png                                                                        (1c)

其中用于投影的 (P-xyz) 为 P点处的截面主轴坐标系。为截面的内力主矢,在忽略体积力条件下 为常矢量,等于外力 F0ωx, ω为 P点处杆的曲率,ωz 为扭率α, β, γ 为  矢量相对 (P-xyz的方向余弦。利用该文定义的表示截面姿态的欧拉角 ψ, ϑ, φ,将方程组 (1) 中的运动学参数表示为

                                稳定性4.png                            (2)

其中以撇号表示对弧坐标 的导数。方程 (1c) 可直接积分,为简化公式,设杆无初始相对扭率,令 φ’ = 0,得到

                                                       稳定性5.png                                                                 (3)

将 点处截面的内力矩 M 投影到 轴,应与外力矩 M平衡,满足 Mxα Myβ Mzγ M0,其中 Mx, My, Mz。将式 (2),(3) 代入后得到

                                                      稳定性6.png                                                              (4)

其中 λ C/Aλωz0M0/A。常数 和 m 适合于 ϑ 的任意值。将 ϑ = 0 代入式 (4),得到 m。从上式解出

                                                        稳定性7.png                                                         (5)

将式 (2), (3), (5)代入方程 (1a),引入  = 2F0/A,利用半角公式做三角变换,整理后得到 ϑ 的解耦的微分方程:

                                                                稳定性8.png                                                                (6)

函数 Q(ϑ) 定义为

                                           稳定性9.png                                     (7)

满足方程 Q(ϑs) = 0的常值特解 ϑ表示杆的平衡状态。其中平凡解 ϑ= 0  π 对应于受拉扭或压扭的直杆状态。此外  ϑ 还存在与螺旋线平衡状态相对应的非平凡解:

                                                稳定性10.png                                                 (8)

其中 ϑ 为螺旋线相对中轴线的倾角。此非平凡解的存在条件为

                                                                稳定性11.png                                                                           (9)

此即直杆失稳转变为螺旋杆的 Greenhill 条件。

对于仅受轴向拉力 F单独作用的直杆,令 M= 0,即 = 0,则此条件对拉杆 (> 0) 必自动满足,压杆 (< 0) 则不能满足。从而得出结论:轴向受拉直杆的平衡状态必不稳定,而受压直杆的平衡状态必稳定。此结论与材料力学中关于压杆失稳的分析结果相悖。此问题将在下一节详细讨论。


2.       Lyapunov 稳定性:

Lyapunov 的稳定性定义和判断方法是运动稳定性学科的理论基础。将运动稳定性理论中的时间变量 替换为弧坐标  ,也可用于判断弹性杆平衡状态的稳定性。以上述受拉扭的弹性杆为例。为简化推导,先讨论仅受轴向拉力的直杆平衡稳定性。设扭矩为零,令  M= 0,即 = 0方程 (6) 简化为

                 稳定性12.png                 (10)

利用线性系统稳定性的传统分析方法,令 ϑ ϑx,代入方程 (10),导出扰动量 的线性化扰动方程:

                                                          稳定性13.png                                                    (11)

将指数特解 x = x0eλs 代入扰动方程 (6),解出特征值:

                                                              稳定性14.png                                                  (12)

对于轴向受拉直杆,即 > 0 且 ϑ= 0, < 0 且 ϑ= π, λ 存在正实根,根据 Lyapunov 稳定性定义,表示受拉直杆的平衡不稳定。对于轴向受压直杆,即 < 0 且 ϑ= 0,或 > 0 且 ϑ= π,则 λ 为纯虚根,表示受压直杆的平衡稳定。

以上得到的受压直杆稳定,而受拉直杆不稳定结论,与材料力学课程里压杆失稳的欧拉载荷理论相悖。应如何解释?

直杆稳定性的不同结论来源于 Lyapunov 和欧拉对稳定性定义的差异。在压杆的欧拉载荷理论中,压杆只要偏离直杆状态即认为失稳。而 Lyapunov 对稳定性有更精确的定义[1]。不用数学语言,可通俗地叙述为:若系统的平衡状态在 = 0 的初始时刻受到微小扰动,在随后的 > 0 的其它时刻,受扰后的状态相对原状态的偏差均为零附近的有限量,则平衡状态稳定。若此偏差随时间 无限增大,则平衡状态不稳定。

将同样的定义移植到空间域:若系统的平衡状态在 = 0 的初始位置受到微小扰动,在弧坐标 > 0 的其它位置,受扰后的状态相对原状态的偏差均为零附近的有限量,则平衡状态稳定。若此偏差随弧坐标 无限增大,则平衡状态不稳定。

将上述稳定性定义用于受压直杆。对于 ϑ = 0 的直杆状态,若在 = 0 的初始时刻,或在 = 0 的端部出现 ϑ不同于零的微小扰动,则在 > 0 的其它时刻,或 > 0 的其它位置,压杆变形为波浪形曲杆。在可能存在的不同于直杆的所有平衡状态中,ϑ 均为零附近的有限量(图2a),符合 Lyapunov 的稳定性定义。


image.png

(a)  压杆失稳后的平衡形态                 (b)  拉杆失稳后的平衡形态

拉杆与压杆失稳后的不同平衡形态


拉杆情况则不同,若在 = 0 的初始时刻,或 = 0 的端部出现 ϑ 不同于零的微小扰动,则在 > 0 的其它时刻,或 > 0 的其它位置,拉杆变形为带回环的曲杆。在可能存在的不同于直杆的平衡状态中,ϑ 可增大至最大值 2π 的任意倍数(图2b),符合 Lyapunov 的不稳定性定义。

造成拉杆和压杆失稳后几何形态明显不同的原因,是因为拉力或压力对任意点力矩的符号相反,使变形后杆的曲率符号相反,以至挠性线的凸性相反。

由此可见,无论在时域或是在空间域,按照 Lyapunov 的稳定性定义,均导致受压直杆稳定,受拉直杆不稳定结论。


3.       螺旋杆的稳定性:

Greenhill 条件是受拉扭杆直杆有螺旋线平衡的存在条件,但所形成的螺旋杆平衡状态是否稳定,必须作补充分析。

本文第一节已导出对 ϑ 解耦的两端受拉扭弹性杆的平衡微分方程 (6),且提供此方程的 3 个常值特解,即平凡解 ϑs1 = 0,  ϑs2 = π 和非平凡解 ϑs3。后者是表征螺旋线平衡的特解,是满足 Q(ϑ) = 0 方程的解:

                                                       稳定性15.png                                                   (13)

函数 Q(ϑ) 的定义见式 (7)。令 ϑ ϑs3 x,代入方程 (6),导出扰动量 的线性化扰动方程:

                                                        稳定性16.png                                                        (14)

 Q(ϑ) 对 ϑ 求导,利用半角公式做三角变换,整理后得到

                                                          稳定性17.png                                                 (15)

则扰动方程 (14) 的特征值为

                                                    稳定性18.png                                         (16)

 ϑs3 的存在条件,即 Greenhill 条件 (9) 已得到满足,则 2p/l> 1 > cos ϑs3λ 为纯虚根,根据 Lyapunov 的稳定性定义,ϑs3 表征的螺旋线平衡状态为稳定平衡。

     从而证明,受拉扭直杆若满足 Greenhill 条件,所生成的螺旋线必为稳定平衡状态,所派生的各级超螺旋杆也均为稳定平衡状态。

  受拉扭的直杆因拉力 F和扭矩 M变化而改变平衡状态的个数和稳定性的现象,属于动力学的静态分岔现象。定义 μ = 2p/l分岔参数,则 μ = 1 为分岔点。图 为 ϑ 的稳态值 ϑs  μ 变化的分岔图,分别以实心和空心曲线表示稳定和不稳定平衡状态。


image.png

3   ϑ 的稳态值ϑμ=2p/l变化的分岔图


参考文献

     [1]  刘延柱. 高等动力学(第二版). 北京:高等教育出版社,2016


               (改写自:刘延柱. 压杆失稳与Lyapunov稳定性. 力学与实践,2002,24(4): 56-59)








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