liuyanzhu的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/liuyanzhu

博文

DNA超螺旋形态的弹性杆模型 精选

已有 3911 次阅读 2021-7-6 10:08 |系统分类:科普集锦

1.    超螺旋形态:

前篇博文 “螺旋杆--弹性杆的特殊平衡形态” 里曾说明,两端受拉扭的弹性直杆,当拉力 F0  和扭矩 M满足 F> M02/4A 时,直杆失稳而突变为螺旋线,A 为弹性杆的抗弯刚度。引入参数 = 2F0/AM0/A此条件可写作

                                                         DNA1.png                                                                 (1)

称为受拉扭直杆的 Greenhill 条件[1]

  若将失稳后的细螺旋杆近似看作一根实体细直杆,其抗弯和抗扭刚度能反映螺旋杆的实际抗弯抗扭能力(图 1)。继续在杆的两端施加拉力和扭矩,则当等效直杆的新参数 p  l 满足 Greenhill 条件时,可能再次失稳成为新螺旋杆。这种二次失稳卷绕形成的复杂形态可称为二超螺旋杆。重复如此操作还可能形成更高的超螺旋杆。

DNA2.jpg

 1   螺旋杆的等效直杆


为检验上述推断能否成立,1996 和 2002 年,英国的 Thompson 和 Champney 等进行了几次物理模拟实验,希望能再现此过程[2]。他们将直径 3mm,长度 18cm 的硅橡胶细杆两端固定施加扭矩和拉力,固定端之间距离不变。实验中观察到,随着扭矩和轴向拉力的增加,受扭直杆的中部出现局部弯曲形成局部回环,并逐渐向两边发展。弹性杆的中轴线由直线卷绕形成螺旋线。若继续施加扭矩和拉力,可形成二级乃至更高级的超螺旋杆。从而通过实验证实上述论断的正确性(图2)。


DNA3.png.jpg

2  Thompson/Champney实验(引自文献[2]


   分子生物学的研究发现,DNA 在染色体内就是以这种超螺旋形态存在,杆的总长为半径的 3.5x106倍(图3)。上世纪 70 年代以来,利用弹性细杆作为 DNA 等生物大分子的力学模型以计算其几何形态的研究,已形成力学与分子生物学的一门交叉学科[1,2]。力学计算需要的 DNA 等效弹性杆模型的几何和物理参数均可通过实验间接测出,如表 1 所示。研究表明,DNA 的原始弹性杆模型经过逐次卷绕,先从 2nm 直径的螺旋卷绕成 11nm 直径的螺旋,再卷绕成 30nm 直径的超螺旋进入染色体(图 4)。


DNA1.jpg

3  染色体内DNA的超螺旋形态


dna10.png

 4  DNA的二级和三级弹性杆模型

dna11.png

                      表1   DNA弹性杆模型几何和物理参数的参考数据


2.    等效抗弯刚度:

为讨论超螺旋形态的形成,首先必须计算与螺旋杆等效的直杆抗弯刚度和抗扭刚度。前篇博文 “螺旋杆--弹性杆的特殊平衡形态” 在分析弹性杆平衡状态时,先沿杆的中心线建立弧坐标 s, 以确定中心线上任意点   的位置。将定参考坐标系O-XYZ的原点移至 P 点,作为  点处截面姿态的参考坐标系。利用欧拉角 ψ, ϑ, φ 确定截面的主轴坐标系P-xyz相对P-XYZ的姿态 (图 5)螺旋杆的几何形态用欧拉角描述为

                                               dna12.png                                                       (2)

其中以撇号表示对弧坐标 s 的导数。ψ0= sinϑ0/RR 为螺旋线半径,螺旋线倾角为π/2 - ϑ0


dna13.jpg

                         图5   确定截面姿态的欧拉角


为计算螺旋杆的抗弯能力,在螺旋杆两端施加绕 X 轴的力矩 M0  -M0,使螺旋杆绕 轴作整体弯曲(图6)。力矩 M (P-xyz) 中的投影为

    dna14.png            (3)


dna21.png

                                                                               受弯矩作用的细长螺旋杆


  杆中心轴的弯曲变形使中心轴上任意点 的截面产生绕 X 轴的转角 ϕϕ 随弧坐标 s 改变,两端有最大值 ϕ0,中心处为零。设杆长为 L,可表示为 ϕ=ϕ0cos(πs/L)。将P-XYZ定义为弯曲变形后的参考坐标系,原位置改记为P-X0Y0Z0(图 7)。整体弯曲变形改变了螺旋杆的曲率 ωxω和扭率 ω组成的弯扭度 ω。为避免公式过繁,略去杆的相对扭率,则 ω P-xyz各轴的投影为

                                       dna15.png                                            (4)


dna22.png

7    弯曲变形后的参考坐标系


设杆的抗弯刚度为 A,抗扭刚度为 C,则杆截面作用的内力矩 M P-xyz各轴的投影为

                                      dna16.png                                  (5)

令内力矩 (5) 与外力矩 (3) 的各项互等,将式 (4) 代入,除得到 MAϕ'  以外,还得到

                           dna17.png                      (6)

从上式消去 ψ0' ,解出

                                           dna18.png                                      (7)

其中 λ A/为弹性杆的抗弯与抗扭刚度之比。ϕ= dϕ/ds 是对螺旋杆的弧坐标 的导数,必须变换为对直杆的弧坐标,即杆中心线 轴的导数 ϕZ' ,得到

                                            dna19.png                                             (8)

将 M与 ϕZ  之商定义为与螺旋杆等效的直杆抗弯刚度,记作 Ã。得到

                                  dna20.png                                      (9)


3.     等效抗扭刚度:

在螺旋杆两端施加绕 轴的力矩 M0 和 -M0MP-xyz中的投影为

                          dna23.png                             (10)

螺旋杆在力矩 M0 作用下绕 轴作整体扭转(图 8)。整体扭转引起转角 ψ 和倾角 ϑ 的变化。从而改变螺旋杆的曲率和扭率。参照式 (4) 计算扭矩 M0 引起的 ω和 ωz 的变化:

                       dna24.png           (11)


dna25.png

                   图8  受扭矩作用的细长螺旋杆


代入式 (5),与式 (10) 逐项相等。令 ϑ ϑΔϑ,代入式 (11),仅保留 Δϑ 的一次项且将其消去,得到

                                  dna26.png                           (12)

其中 ψ 对螺旋杆的弧坐标 s 的导数 ψ' 应变换为对杆中心线 Z 轴的导数:

                                              dna27.png                                              (13)

将与 MZ  与 (ψZ - ψZ0之商定义为与螺旋杆等效的直杆的抗扭刚度,称为螺旋杆的等效抗扭刚度。记作带波浪号的 C,得到

                                   dna28.png                               (14)


4.    超螺旋形态的形成:

利用以上导出的等效抗弯和抗扭刚度公式,就能对受拉扭直杆失稳形成的螺旋杆再次利用 Greenhill 条件作出判断。失稳条件变为

                              dna29.png                             (15)

满足此条件时,与螺旋杆等效的直杆中心轴转变为螺旋线,形成更高级次的超螺旋。继续此过程,还可再次对失稳作出判断,判据改为

                                         dna30.png                               (16)

等效抗弯和抗扭刚度重新定义为

                                           dna31.png                                     (17)

      若将最初形成的螺旋杆称为零级超螺旋,再次卷绕形成的状态称为一级超螺旋。继续此过程,可形成二级、三级、乃至更高级次的超螺旋。上述 Thompson/Champney 实验现象的力学过程由此得到定性的理论解释。实验中观察到失稳时杆的中端产生突变式屈曲的复杂过程,可参阅 Coyne, van der Heijden 和 Thompson 的工作[3,4,5]

参考文献

[1]  Bouchiat C, Mezard M M 2000 Euro. Phys. Journ., E 2 377

[2]  Travers A A, Thompson M T 2004 Phil. Trans. Roy. Soc. London 362 1265

[3]  Coyne J, 1990 IEEE J. of Oceanic Engng. 15 72

[4]  van der Heijden G H M, Thomson J M T 2000 Nonlin. Dynamics 21 71

[5]  Thompson J M T, van der Heijden G H M, Neukirch S 2002 Proc. Roy. Soc. London A458 959


(改写自:刘延柱,薛纭. 受拉扭弹性细杆超螺旋形态的定性分析. 物理学报,2009, 58(9): 5936-5941)









http://wap.sciencenet.cn/blog-3452605-1294274.html

上一篇:螺旋杆--弹性杆的特殊平衡形态
下一篇:受拉扭直杆与螺旋杆的Lyapunov稳定性

8 文端智 杨正瓴 周晓华 鲍海飞 黄永义 许培扬 杨新铁 陈立群

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (3 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2021-9-28 02:57

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部