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干摩擦自激振动:优美音乐和恼人噪音的制造者 精选

已有 5204 次阅读 2021-3-2 08:28 |系统分类:科普集锦

前文“ 荡秋千与自激振动”里已叙述了自激振动的特点和物理过程。本文讨论一类特殊的自激振动,即干摩擦激起的自激振动。这种自激振动现象在生活中极为常见。提琴弓子摩擦琴弦发出的悦耳音乐,火车刹车时产生的刺耳噪音都来自干摩擦自振。

为便于解释干摩擦自激振动,先对前文中提到的相平面和相轨迹做些补充说明。单自由度系统的动力学方程普遍形式为

                                                       摩擦1.png                                                        (1)

用新的变量 y 表示速度,转换成状态变量 (x, y) 的一阶微分方程组:

                                                         摩擦2.png                                                           (2)

将二式相除消去时间微分 d,得到仅含变量 x  y 的一阶微分方程:

                                                                摩擦3.png                                                                   (3)

此方程确定相平面 (x, y) 上的向量场,方程的积分即相轨迹。令式 (3) 中 dy/dx 等于常数 C,所对应的曲线族上各点均有相同的斜率 C,称为相轨迹的等倾线族。以无阻尼线性振动为例,令 f (x, y) = αx,其等倾线为从原点出发的射线族:

                                                              摩擦4.png                                                                    (4)

沿 y 轴的等倾线上各点的斜率为零,沿 x 轴的等倾线上各点的斜率为。从等倾线的分布可看出相轨迹是以原点为中心的椭圆族(图1)。利用等倾线确定相轨迹的方法称为列纳 (Lienard,A.) 作图法。


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                       图1  线性保守系统的等倾线族


若系统存在粘性阻尼,令 f (x, y) = αx + cy ,则等倾线族也是过原点的射线族:

                                                          摩擦6.png                                                              (5)

但与式 (4) 比较,零斜率等倾线从 y 轴移至第二、四象限,轴上各点的斜率为负值 c相轨迹是朝原点趋近的螺旋线,振幅不断减小 (图2a)。若阻尼较强,则螺旋线转化为弧线直接趋近原点 (图2b)


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                                                                             2   阻尼系统的等倾线族


若阻尼系数 为负值,则系统的总机械能不仅没有耗散,而且不断从外界获取能量。这种特殊情况称为负阻尼。则等倾线族中的零斜率等倾线移到第一、三象限,y  轴上各点的斜率变为正值。相轨迹沿螺旋线(图3a)或弧线(图3b)向外扩展,振幅不断增大。


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                        图负阻尼系统的等倾线族


相平面原点 O 处的速度和加速度均为零,相当于系统的平衡状态。在方程 (3) 中,原点 O  处的分子和分母同时为零,则 dy/d为不定值。因此 O  点也是微分方程的奇点 (singular point)。图 1 类型的奇点称为中心 (center),图 2a 和图 3a 类型的奇点称为焦点 (focus),图 2b 和图 3b 类型的奇点称为结点 (node)。根据相点向奇点趋近还是远离,区分为稳定或不稳定的焦点或结点。

回到对干摩擦问题的讨论。干摩擦是指没有液体润滑情况下的滑动摩擦。1781 年法国物理学家库伦  (Coulomb,C. A.) 从实验结果总结出一条著名的定律。可叙述为:物体之间保持静止接触的最大静摩擦力 Fmax 与相互作用的正压力 FN 成正比,Fmax μF比例系数 μ 称为静摩擦因数,取决于物体接触的表面状况。物体之间有相对滑动时,所产生的动摩擦力 F 也能用库仑定律描述,仅比例系数改为动摩擦因数,与滑动速度 v 无关。但库仑定律只是对滑动摩擦的近似描述。更精确的实验研究表明,摩擦力与滑动速度 并非无关。当静摩擦转化为动摩擦时,摩擦力突然下降,然后随相对速度的增加而缓慢地上升。可用非线性函数  φ(v)  表示为  F = - φ(v)如图 4 所示

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                      图4  干摩擦与相对速度关系曲线


      将小提琴的琴弦简化成一个质量-弹簧振子(图 5)。当涂抹了松香的琴弓在琴弦上以 v速度匀速滑动时,即产生对琴弦作用的干摩擦力。为使讨论更具普遍性,将琴弓以匀速移动的平台代替,讨论质量-弹簧振子相对平台的运动 (图 6)。

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                        图5   琴弦与琴弓组成的振动系统


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                         图6  干摩擦自激振动的简化模型


不失一般性,令滑块质量和弹簧刚度均等于 1,弹簧的伸长为 ξ,平台速度为 v0,则滑块与平台之间的相对速度 

                                                                 摩擦7.png                                                                  (6)

受摩擦力 F = - φ(v和弹簧恢复力作用的滑块的动力学方程为

                                                摩擦8.png                                                (7)

令方程 (7) 中的导数项等于零,以确定滑块的平衡位置 ξ0

                                                         摩擦9.png                                                        (8)

将平衡位置 ξ0 作为新的坐标原点,引入新的变量 x

                                          摩擦10.png                                        (9)

则方程 (7) 化作

                                                    摩擦11.png                                                      (10)

改以 表示速度,其中

                                摩擦12.png                                     (11)


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                                                                         7   y(y)数曲线


ψ(y的函数曲线。将方程(10) 转换为式(3)形式的一阶微分方程:

                 摩擦13.png                   (12)

此方程的零斜率等倾线为  = - ψ(y),在 图8 中以虚线表示。


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                     图干摩擦自振系统的极限环形成


      参照前面叙述的零斜率等倾线与阻尼特性的关系,在 y = 0  附近,零斜率等倾线在第一、三象限,阻尼特性具有负阻尼性质。y 较大时零斜率等倾线移至第二、四象限,转化为正阻尼。从而证明,小幅度运动时振幅不断增大,大幅度运动时幅度减小,中间必有稳定的极限环存在。

对相轨迹的分析说明了干摩擦引起自激振动的可能性。以下具体分析自激振动的产生过程。起先平台借助静摩擦力咬住滑块,带动滑块从 P1 开始,以速度 v向右匀速运动。随着弹簧变形的增大,弹性恢复力不断增长。当相点到达 P2  点时弹性恢复力增大到足以克服静摩擦力,滑块即被迫脱离平台向左滑动,起先在弹簧恢复力作用下加速,超过平衡位置后开始减速,直到相对速度减到等于零时,平台再次咬住滑块向右运动。上述黏着-滑动-再黏着的过程重复发生。咬住滑块时平台作正功,释放后平台作负功,当能量的输入和输出达到平衡时,滑块便能维持稳定的自激振动。图 8 表示此过程的相轨迹走向,所形成的封闭相轨迹就是一个极限环。

对以上简单模型的分析可以解释小提琴发出悦耳音乐,或独轮车车轴发出噪音等各种现象的产生原因。它们都属于干摩擦自激振动。在工程技术中,干摩擦自激振动的典型例子是车刀在切削时与工件摩擦产生的振动。这种振动会严重影响工件表面的光洁度。干摩擦自激振动还发生在机械传动系统里,当齿轮之间或和齿条之间缺少润滑时,就会发生时而粘住时而滑动的不连续“爬行”现象。要消除干摩擦自激振动,利用润滑剂就能达到目的。润滑剂的存在使干摩擦转化为粘性摩擦,根本改变了摩擦的性质,自激振动现象也就自然消失了。

实验中还发现,当平台的运动速度 v极大时,不能激发起滑块的自激振动。此时滑块在弹簧和干摩擦作用下,只能在平衡位置附近作衰减振动。将 v减小到某个临界值时,稳定的平衡状态可突变为不稳定而转化为自激振动。

要说明此现象,必须分析图 7 的阻尼特性曲线 ψ(y)。可以看出,原点附近的负阻尼仅发生于 v较小的情形。若增大 v改变原点的位置,可使 ψ(y曲线的斜率改变符号,使相平面内奇点 O 附近的零斜率等倾线移至第二、四象限(图9)。则相轨迹必向原点趋近,奇点变为稳定焦点。滑块在干摩擦作用下的运动成为衰减振动。如逐渐减缓平台速度,则图9中的奇点 O 沿 轴向上移动。当平台速度 v小于某个临界值 v0,cr 时,奇点到达图 8 所示位置,附近的零斜率等倾线处于第一、三象限,则滑块的衰减振动转变为自激振动。


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                      图9  干摩擦作用下的衰减振动


在非线性动力学中,运动性态的突变现象称为动态分岔 (dynamic bifurcation)。上述稳定焦点转变为不稳定焦点,且伴随极限环出现是一种特殊的动态分岔,称为霍普夫分岔  (Hopf,E.),v0,cr为分岔点。图10 直观地表示出衰减振动向自激振动的演变过程。

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10  衰减振动向自激振动的演变


            (改写自:刘延柱,陈立群,陈文良. 振动力学(第三版). 4. 高等教育出版社,2019

  刘延柱. 趣味振动力学,7.4. 高等教育出版社,2012)









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