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博文

运动员的旋空翻与欧拉-潘索运动 精选

已有 3242 次阅读 2020-12-3 16:17 |系统分类:科普集锦

1972 年举行的第 20 届奥运会上,日本体操运动员冢原光男第一次完成了绕身体的横轴(自右至左)转动,同时绕纵轴(自脚至头)旋转的高难动作而获得了单杠世界冠军。这种被称为“旋空翻”的动作现已成为体操、跳水等项目频繁出现的常规动作之一(图1,图2)。但是关于旋空翻的力学原理却引起过不少困惑。我国体育界在上世纪 70 年代曾有过一场激烈的争论。争论的焦点是人体绕横轴的转动突然变为绕纵轴的转动有没有外力的驱动。


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旋空翻动作(引自网络)


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旋空翻全过程(引自网络)


有人坚持认为,运动员在松手离杠瞬间就已经被施加了绕纵轴的外力矩。为了检验此外力矩是否存在,甚至在单杠上贴了电阻应变片检查离杠时单杠的变形是否对称。实验结果和高速摄影结果都证实,运动员在离杠瞬间并无绕纵轴的外力矩和初始角加速度。而当绕横轴转动的运动员将双臂作一个反对称弯曲动作时,绕纵轴的转体确实会无中生有地产生出来。这一事实仅利用刚体绕固定轴转动的知识无论如何也解释不通。

与猫的空中转体相同,腾空的运动员也处于无力矩状态,也受动量矩守恒原理的支配。不同点在于,猫的转体可看作是绕水平轴的转动,而运动员的旋运动并非绕一根轴,而是绕一个点,即绕质量中心的转动。这种运动也就是在“抖空竹与欧拉方程”的博文中所叙述的刚体定点运动。定点运动完全不同于定轴转动。理工类和体育类专业的理论力学课程一般只讲授刚体定轴转动。不了解刚体定点运动的规律解释不了旋空翻的力学原理。

博文 “抖空竹与欧拉方程” 中已说明,自 1760 年欧拉建立动力学方程以后,刚体定点运动已成为 18 世纪经典力学领域的热点问题之一。法兰西科学院甚至悬赏征求欧拉方程除欧拉和拉格朗日两种情形以外,有无可能存在第三种可积情形。一个世纪过后,俄国女科学家科瓦列夫斯卡娅(Kovalevskaya,S.V.)方于 1888 年获此殊荣。在三种可积情形中,最先讨论的欧拉情形是质心与定点重合,重力对定点无力矩作用的情形,也就是腾空物体的实际状况。要解释旋空翻运动的力学原理,必须先了解欧拉情形刚体定点运动的普遍规律

设刚体运动的瞬时角速度 ω 相对刚体的主轴坐标系(O-xyz)的投影为 ωx, ωy, ωz,刚体相对惯性主轴 Ox, Oy, Oz 的主惯性矩分别为 A, B, C,设 A > B > C。由于无力矩状态刚体的动量矩和动能均守恒,存在以下初积分:

                           能量积分:        x2 +x2+x2 = 2T                                                     (1)

                               动量矩积分:   A2ωx2 +B2ωx2+ C2ωx2 = L2                                                         (2)

其中 T  和 均为常数,分别表示守恒的动能和动量矩。将主轴坐标系 (O-xyz) 改为以 ωx, ωy, ω为坐标轴。公式 (1), (2) 在 (O - ωx ωy ωz)  坐标系中确定两个不同的椭球面,即动能椭球 S和动量矩椭球 S2。二者均与刚体固结,有相同的中心,但有不同的长短半轴。在刚体运动过程中,角速度 ω 的方向和模均随时间变化,但必须同时满足式 (1) 和式 (2)。换言之,ω 的矢量端点必须落在两个椭球面 S和 S的交线之上(图3)。对于不同的初始条件即不同的常数 L,所有的交线在动能椭球 S上形成一个曲线族,称为本体极迹 (polhode) [1](图3)。


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本体极迹的产生


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4   动能椭球上的本体极迹


在图4中,本体极迹沿惯性主轴 Ox, Oy, Oz 有 3 个孤立的奇点,若角速度 ω 沿任一个惯性主轴方向,可停留在此位置不变。说明刚体绕惯性主轴的旋转可持续不断地进行下去,在刚体动力学里称为永久转动(permanent rotation)。从图4可看出,若角速度 ω 稍稍偏离主轴 Ox 或 Oz,其端点即落在原位置附近绕 Ox 或 Oz 轴的小封闭极迹上。按照运动稳定性的定义,刚体绕 Ox 或 Oz 轴的永久转动稳定。Oy 轴的情况则完全不同。从 Oy 轴的孤立奇点出发经过负 Oy 轴回到原处的两条特殊极迹称为“分隔线”(separatrix)。它将椭球分隔为 4 个区域。角速度 ω  若偏离 Oy 轴,其端点即进入偏离后所在的某个区域,落在围绕 Ox 或 Oz 轴的封闭极迹上而远离原位置。表明刚体绕 Oy 轴的永久转动不稳定。在运动稳定性理论里,Ox 和 Oz 轴类型的稳定奇点称为 “中心”(center),Oy 轴类型的不稳定奇点称为 “鞍点”(saddle)。根据以上分析,可以确立欧拉情形刚体定点运动永久转动的稳定性条件:

 刚体绕最大和最小惯性矩主轴的永久转动稳定,绕中间值惯性矩主轴的永久转动不稳定。

为检验此结论的正确性,可取一个羽毛球拍做个实验。设球拍平面的法线轴为 Ox,沿球拍柄的主轴为 Oz,与二者正交的主轴为 Oy(图5)。将球拍分别绕三个主轴旋转时抛向空中,就能观察到上述稳定和不稳定现象。将一本硬皮书或一合扑克牌绕不同轴旋转时抛向空中,也能观察到同样的现象。


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羽毛球拍的惯性主轴


以上仅讨论了永久转动的稳定性。要了解欧拉情形刚体定点运动的全过程,必须对非线性的欧拉方程求解。1849 年雅可比(Jacobi,C.G.J.)导出了用椭圆函数表示的解析积分。1834 年经典力学的另一位大师潘索(Poinsot,L.)提供了一种不直接求解而直观描述运动过程的方法。它首先提出,在刚体的主轴坐标系 (O-xyz) 中作一个曲面,曲面上每个点相对质心的矢径 与刚体绕以 为轴的惯性矩 J  的平方根成反比。按此定义的曲面称为惯性椭球。可以证明,选择适当的比例系数,惯性椭球是与动能椭球 S相同的椭球面[1]。以上与本体极迹有关的讨论均可认为是在惯性椭球上发生。潘索指出,欧拉情形刚体定点运动等同于惯性椭球在固定平面 П 上的无滑动滚动,平面 П 与守恒的动量矩 正交。接触点 是角速度矢量 ω 的端点,在惯性椭球上描绘的曲线即上文定义的本体极迹[1]。惯性椭球的这种无滑动的滚旋运动形象地描绘出欧拉情形刚体的运动图景,称为欧拉-潘索运动(图6)。前文叙述的永久转动是欧拉-潘索运动当接触点与惯性主轴重合时的特例。


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6    欧拉-潘索运动


将人体简化为刚体,其绕纵轴 Oz 的转动惯量最小,绕矢状轴 Ox 的转动惯量最大,绕横轴 Oy 的转动惯量为中间值(图7a)。根据以上分析,人体绕 Ox 轴的转动,如体操运动员的侧翻运动是稳定的。绕 Oz 轴的转动,如芭蕾舞演员的直立快速旋转也是稳定的。但绕 Oy 轴的转动,如腾空的体操运动员绕横轴的空翻是不稳定运动。若运动员起初绕横轴空翻,角速度矢量 ω 沿 Oy 轴。当运动员的上肢做出反对称动作时,惯性主轴发生偏转。角速度 ω 的极迹即偏离新的 Oy 轴进入 Oz 轴所在的区域,产生围绕 Oz 轴的转动(图7b)。此即运动员绕横轴空翻时转变为绕纵轴旋转的根本原因。


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人体的惯性主轴


于是欧拉情形刚体定点运动的永久转动稳定性,这个古老的经典力学问题经历了两百多年后,又在体操运动员的旋空翻运动中获得一个生动的例证。猫的空中转体和运动员的旋空翻运动表明,任何腾空的生物体都能借助肢体的相对运动来影响整个身躯的运动。跳远运动员在起跳后将高举的双臂急速向下挥动,可使躯体朝相反方向转动,使双足抬高而提高跳远成绩。失重状态下的宇航员可借助双臂或双腿的动作来控制其身体的方位,完成太空中的行走。体操、跳水、技巧运动员的使人眼花缭乱的各种空中高难动作,无不遵循动量矩守恒原理。

1964 年美国人汉纳文(Hanavan,E,P)将人体分解为头、上下躯干、上下臂、大小腿、手、足等 15 个部件,各部件简化为刚体,连接各部件的关节简化为球铰,组成 48 个自由度的多体系统(图8)。依据牛顿力学原理建立此多体系统的动力学微分方程,输入各部件的几何参数和惯性参数以及各部件的设定动作,就有可能对腾空人体的运动规律进行计算机数值模拟。笔者于 80 年代曾利用多体模型分析论证了空翻一周完成 1070转体的可能性[2],所在的科研组曾为上海市体委研究过腾空运动的模拟软件。作为教练员的辅助工具,可在虚拟的人体模型上修改或创造新动作。力学分析与体育科学结合形成交叉学科运动生物力学。基于严格的力学原理分析体育运动以提高竞技体育水平,是发展运动生物力学的首要任务。有兴趣的读者可参阅附录中关于运动生物力学如何从经典力学观点建立人体模型的论述。


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图8  Hanavan的人体模型


参考文献

1.         刘延柱. 高等动力学(第二版). 北京:高等教育出版社,2016:164~167

2.         刘延柱. 人体空翻转体运动的动力学分析. 上海交通大学学报,1984, 18(1) : 75~86


    (补充改写自: 刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版),北京:高等教育出版社,2018:3.2节

   刘延柱. 猫的空中转体与运动员的旋空翻. 百科知识,1982 (10): 49-51

            刘延柱. 腾空运动. 物理通报,2005, (5): 48-49 )


                                                    附录:运动生物力学中的力学模型问题

                                                           ( 原载于:力学与实践,1983, 5 (3), 6-9)

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