二项式展开定理

一、 定理及基本概念

1.       ；

2.       项数：一共项；

3.       通项：；一定注意两点：

1)       涉及“第几项”的时候，一定严格按照通项公式；

2)       注意项数与系数的关系。

4.       二项式系数与各项系数之间的联系与区别。

二、 性质

1.       二项式系数的对称性：；

2.       二项式系数和：；

3.       奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数之和，即①；

           另外：②.

         证明： 由    

                      当a=b=1时，代入二项式定理可证明性质2，由杨辉三角也可看出。

                      当a=-1，b=1时代入二项式定理可证明性质3-②。

4.       二项式系数最大项：

1)       当n是偶数时，此时项数n+1是奇数，中间项的二项式系数最大；

2)       当n是奇数时，此时项数n+1是偶数，中间两项的二项式系数最大。

5.       系数最大项：注意系数最大与二项式系数最大的区别。

       附：杨辉三角

基本题型解题思路及步骤

一、 利用通项公式求某项系数

1.       写出通项公式的时候注意：

1)       所有的系数写在最前面，包括符号；

2)       所有根式都写出分数次数形式；

3)       明白什么是有理项；

4)       注意r的取值范围。

2.       只有一个式子：写出通项公式，根据系数关系，确定满足条件的项。

3.       有两个式子相乘：

1)       分别用通项公式打开，组合后看满足条件的项；

2)       只打开一个，观察另一个的形式，判断满足条件的项；一定注意系数；

3)       有多个r_i的，注意各自的取值范围和相互之间的关系。

二、 赋值求系数和

1. 常用的赋值是令x=0,1，-1，具体要通过所求的式子来判断赋值；

2. 所有系数之和：令x=1；二项式系数之和：；

3. 所有系数绝对值之和：令x=-1；变换原来式子里的符号，边为相加；再令x=1；

4. 求导和积分的形式。

三、 对二项式定理的理解：组合项、整除

1.       二项式定理的a，b理解：都表示一个整体；

2.       根据所求的问题，对前面的a，b进行重新组合。

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