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摘要：西方复变函数理论创立于19世纪，是当时最独特的创造。Gauss认为“”的真正奥妙是难以捉摸的”。本文认为，虚数事实上并不是数，而是一个操作符，一条流水线上的操作符，每操作一次，数据就进入流水线的下一个环节，所以本文将复数计算称之为“过程计算”。复数计算是相当简单的向量计算，它是众多含有流水操作符的过程向量里面最简单的一种。但Cauchy-Riemann（柯西-黎曼）条件将复数的实部和虚部合并而视为一个数的整体而进行求导，这导致复变函数存在根本性的问题。

关键词：复数、流水操作符、过程计算、柯西-黎曼条件

西方复变函数理论创立于19世纪，是当时最独特的创造。Gauss认为“”的真正奥妙是难以捉摸的”。

一 流水操作符与过程计算

我们知道方程在实数域内无解。韦塞尔由此引入了新的数域，使得在这个数域内，本方程有解。欧拉引入符号，使得，称之为单位虚数，英文称为Imaginary number。置，则实数集是它的一个子集。的元素称为复数，和分别称为的实部和虚部，记为，。

从的英文Imaginary number和中文“虚数”名称来看，复数的含义的确是难以捉摸的。复数的首要价值体现在三角函数上：

                 （1）

（1）式中，由于虚数的引入，使得三角函数的计算简单化了。这是复数的重要应用。

问题是，（1）式关于三角函数的计算也可以不用虚数。这说明虚数似乎并没有那么不可捉摸。现在我们把问题简化，研究本身。

         （2）

从（2）（3）可知，乘以一个数，就是使这个数在复数坐标系上旋转了90度。就是旋转两次90度，所以

          （3）

更简化地：

               （4）

故：  （5）

（5）式是把只有实部的1，旋转90度为只有虚部的。

  从以上分析可知，的本质是一个操作的动作，它是一个操作符。而操作符是可以根据需要来任意设定的。如果把理解为数的平方，这是不合逻辑的。但是如果把它理解为两次操作，这就很容易理解。譬如可以把理解为对电脑键盘的某个按键操作，对此按键连按两次就输出-1，这显然无需引入什么虚数都是可以做到的。那么只按一次按键能输出什么呢？当然不可能输出实数结果。但我们可以设想有一个寄存器，这个寄存器的作用是把只按一次按键的数据暂存起来，所以就在暂存的数据前面加上单次操作符。这个寄存器里面的数据等待第二次按键，一旦第二次按键来临，寄存器中的数据就乘以-1并输出结果。因此这事实上是一条流水线上的操作符，每操作一次，数据就进入流水线的下一个环节，所以本文题目称之为“过程计算”。这也很容易解释为什么复数最容易使用在三角函数的计算上，因为三角函数就是一个循环转动的过程。事实上我们规定得更为自由，例如规定，则会出现流水线上的三个操作符（也即三个寄存器）：“、和”，此时的数值就应表示为，这同样是可以计算的。甚至我们也可以规定流水线上不同的操作、，其操作关系是，则数值为，很显然这也可以计算。原则上，流水线上的所有操作，都可以写为这种过程表达方式，然后进行计算。所谓复数是如此，三维空间上的矢量表达：，其符号亦是流水操作符。操作符完全是根据实际需要而人为规定的，它就像计算机程序的函数，输入特定数据，可以编程为编程人员希望的任何输出结果，只要多个函数之间的输出不产生冲突即可。而在实数域上无意义因此是空白，故流水操作符不会与其它输出产生冲突。

从以上分析可知，所谓“虚数”，其实一点也不虚，它就是流水操作暂存器中暂存的数据而已。复数作为实数以外的数域并无意义，因为这样的流水操作符可以任意规定，无需局限在的定义之内。不是数，也不应叫做什么虚数，它是操作符，并且是流水线上的操作符，本文称之为流水操作符。为方便称呼起见，本文把包含流水操作符的数称为过程向量。假如有一种新流水操作符就有一种新的数域，那这样的数域种类就是无穷多的。

从计算规则来看，流水操作符是一种算子。而复数的操作符更是比较简单的线性算子。这种算子在计算规则上完全可以看成是一个实数，遵从实数的计算规则，按照实数运算规则进行计算即可，并无特别讨论的必要性。那么为什么复数域、复变函数这么复杂呢？下面来看复变函数中的Cauchy-Riemann（柯西-黎曼）条件。

二 Cauchy-Riemann（柯西-黎曼）条件存在的问题

定理：记，其中，和是二元实函数。在处可导的充要条件是和在处可微，且和满足Cauchy-Riemann（柯西-黎曼）条件，。

证明：

设，则。令，故有：

     （6）

故，   （7）

由二元函数可微的定义知，和在处可微，且：

              （8）

               （9）

故有：，          （10）

此即Cauchy-Riemann（柯西-黎曼）条件。证毕。

Cauchy-Riemann（柯西-黎曼）条件是一个很奇怪的条件，它莫名地为实部和虚部之间建立约束关系。而根据本文之前分析，过程数中各个流水操作符后面的数值之间无须任何关系，不过是表达各个流水寄存器里面的数值而已。但在复变函数中却建立了操作符后的数值与实部数值的关系。现在来看这种关系的本质是什么。

Cauchy-Riemann（柯西-黎曼）条件的证明中有一个关系：。之所以取此值，是因为之前把虚数也看成是数，不明白虚数的真实含义，所以认为复数改变时，其实部和虚部都在同步改变。然而本文指出根本不是一个数，它是过程向量，是一个向量。此向量的各个元素的改变值完全可以不同步。向量的微分形式不可写为：

           （11）

而应该写为：

  （12）

（12）中没有明确写出操作符，但是毫不影响计算，因为操作符在（12）式中就作为普通数字来计算即可，没有必要放到自变量的微分中。但是把操作符放到自变量中也完全没有问题，如下：

  （13）

从（12）（13）可见包含流水操作符的过程向量计算完全就是实数系统的向量计算规则，它其实就是（8）式和（9）式。决然没有任何向量微分会写为（11）的形式。复变函数是把当作一个不可分割的数，从而产生了错误。复变函数的做法，类似于在实数域的向量微分中用来计算的导数。这是错误的做法。由于此错误做法，然后又强求正确的矩阵微分结果与（11）式相同，就必然在实部和虚部之间产生了莫名其妙的约束。这就是复数域、复变函数与实数域计算规则重大不同的根本原因。事实上，复数计算是相当简单的向量计算，它是众多含有流水操作符的过程向量里面最简单的一种。将流水操作符视为数，使用实数域的矩阵运算规则，就完全可以解决问题。