一、随机过程、随机变量与样本函数三者之间的关系

随机过程使用二元函数  来描述动态随机现象的空间分布状态和时间演变过程。对于固定的时间  ，  是状态变量  的函数，称为随机变量（random variable），简记为  ；对于固定的状态  ，  为时间变量  的函数，称为样本轨道（sample path）或样本函数（sample function），简记为  。

用MP3播放器的输出噪声电压波形来说明随机过程、随机变量与样本函数三者之间的关系。由于电路噪声的存在，MP3播放器即使在暂停播放的状态下，也就是无播放信号时，也会输出图1所示的随机噪声信号。

用示波器观测MP3播放器的输出噪声波形，每个MP3播放器输出的噪声信号电压  都是一个确定性的时间函数，也就是随机过程  中的一个样本函数  。

尽管测试设备和测试条件完全相同，但不同MP3播放器的输出噪声电压波形是完全各不同的波形。所有MP3播放器在  时刻的噪声信号电压值  （图中红点）就是随机变量  在  时刻的状态。

          图1 随机过程定义示意图

因此，随机过程  即可成是大量随机变量  的集合，也可看成是所有样本轨道  的集合。

随机变量  和样本函数  描述的是完全不同的实际问题。随机变量  用来刻画所有MP3播放器噪声信号在某一时刻的统计特性，样本函数  用来描述一个MP3播放器的噪声信号随时间变化过程。

观察股票价格  随时间  的变化过程，与图1中一个MP3播放器的音频噪声信号  类似，  是时间  的函数，可看作是固定  时的随机过程  ，因此，股票价格随时间  的变化过程只能被抽象为随机过程  中的一条样本轨道 ，而非随机变量  。

《数理金融学》将股票价格  抽象为随机变量  ，无形中将研究对象从一条样本轨道改变为大量样本轨道的集合，导致《数理金融学》研究对象发生严重错位，因而建立的股票价格模型无法正确描述、解释并预测股票价格波动现象及规律，将其用于指导金融市场实践时，必然会给金融市场带来巨大的风险和灾难。

二、白噪声

白噪声样本函数  在下一时刻的方向和大小完全随机（图2），在时域无法用确定性的数学解析式来描述，但是在频域却可用确定性的数学解析式表示。

 （1）

式中  为白噪声  的功率谱密度，  为正实常数，表明白噪声  的功率谱密度在整个频率轴  上均匀分布。  的物理意义代表白噪声信号在单位电阻上产生的平均功率。

     图2 高斯白噪声样本函数

根据维纳-辛钦定理，平稳随机过程的自相关函数是其功率谱密度的傅立叶变换，可得白噪声  的自相关函数

 （2）

式中  为时间间隔，  为单位冲击函数。

上式表明，白噪声  仅在  时才有相关性，表明白噪声  在任何两个不同时刻的取值互不相关，因此不能用  的历史数据对未来进行预测和推断。。

白噪声  的时间均值为

 （3）

白噪声  的时间方差为

 （4）

如果白噪声信号在不同时刻的幅值  服从  正态分布，则  ，称它为高斯白噪声。电子设备中的电阻热噪声和晶体管散粒噪声均为高斯白噪声。

三、各态历经随机过程

研究随机变量  的统计特性，从理论上说需要知道所有样本函数  ，然后用统计方法才能求出  的数学期望、方差和自相关函数等数字特征，这在工程实际问题中往往办不到。

有一种平稳随机过程，对其任何一个样本函数  所做的各种时间平均，从概率意义上趋近于随机变量  的各种统计平均，则称之为具有各态历经性的随机过程。

各态历经随机过程的任何一个样本函数  都经历了随机过程  的所有可能状态，因此可用任何一个样本函数的时间平均来代替  的统计平均或集合平均，简化随机现象的测量和计算过程，给解决实际问题带来极大的方便。

白噪声过程  是各态历经随机过程，可用一个样本函数  的时间均值和时间方差来代替随机变量  的数学期望和方差，有

 （5）

 （6）

对于图1所示的MP3播放器噪声信号测量过程，只需测量一个MP3播放器的噪声信号，只要测量时间充分长，就可用求时间平均的方法，求出同一批次MP3播放器噪声信号的统计特性。

四、布朗噪声

布朗运动是指悬浮在液体中的花粉微粒，受大量液体分子的不断地撞击而产生的无规则运动。

在工程技术领域，也有许多与布朗运动类似的随机现象，例如，在惯性导航技术领域，运动物体（飞机、导弹和宇宙飞船等）的位移是通过对速度测量数据的积分获得的（图3）。

     图3 陀螺位移（速度积分）

陀螺仪速度信号中通常包含有服从  正态分布的高斯白噪声  ，高斯白噪声  通过积分器后的输出可表示为

 （7）

 在惯性导航技术领域被称为随机游走，由于  的波形（图4）与一维布朗运动样本轨道相似，因此  也被称为布朗噪声或维纳过程。当高斯白噪声  的方差  时，则称  为标准布朗运动，用  表示。

     图4 布朗噪声（白噪声积分）

与白噪音相比，布朗噪声听起来具有较为“柔和”的音质，类似于自然界的瀑布声或大雨声。

 是白噪声  激励积分器产生的响应，由于积分器具有记忆性，积分器当前时刻的输出不仅与当前时刻的输入有关，而且与之前所有时刻的输入有关。因此，积分器的输出  具有“相关性”。

由式（7）的白噪声积分模型，可推导出  的自相关函数

 （8）

式中  为时间间隔。

自相关函数  描述了  不同时刻取值的相关程度。

图5为  的自相关函数的图形。  在很宽的范围内不为零，一是说明  不同时刻的取值具有相关性；二是表明  随时间缓慢波动，具有很强的惯性，因此，  的历史数据中存在可以识别和利用的规律，  具有可预测性。

     图5 白噪声与布朗噪声自相关函数

由于白噪声  的功率谱密度在整个频率轴（-∞，+∞）上均匀分布，因此，  的功率谱密度就完全取决于图3积分器的传递函数特性，  的功率谱密度为

 （9）

式中  ，表明  的功率谱密度  与 成反比，  的能量主要集中在低频段（图6），因此布朗噪声也被称为红噪声或  噪声。

     图6 布朗噪声与白噪声功率谱密度

将式（7）的白噪声积分模型改写为

 （10）

式中  为白噪声  在区间  上的算术平均值，其物理意义表示定义在[-∞，+∞]上的白噪声信号在有限区间  上被截断后，因频谱泄漏效应而产生的直流分量。

根据大数定律，当  充分大时，  将会趋于一个常数  ，  围绕常数  上下波动，表明  中存在一条与时间  成正比的线性趋势线。

高斯白噪声  服从  正态分布，其算术平均值  的方差为

 （11）

 反映了算术平均值  偏离常数  的程度，由于  在  范围内波动的概率为99.73%。因此，  也会以99.73%的概率在相应的线性通道内波动。

光纤陀螺的速度信号中包含有较大的白噪声  ，由于随机游走  与时间成正比，因此光纤陀螺的最终导航精度和瞄准精度主要取决于白噪声积分后所产生的随机游走误差。

陀螺仪速度信号中的白噪声  平均功率  是一个常数，但是在每次启动运行时，均会产生不同的随机游走（图7）。

     图7 陀螺随机游走样本轨道

根据随机过程的定义，可直接写出陀螺随机游走随机变量  的模型

 （12）

因此有

 （13）

 （14）

表示图7中的所有陀螺随机游走样本轨道  在  时刻服从  正态分布，方差  是衡量所有随机游走样本轨道与0点平均偏离程度的统计参数。

 的方差与时间  成正比，表明随机游走（布朗噪声、维纳过程或红噪声）为非平稳随机过程，不具有各态历经性，不能用一条样本轨道  的时间平均来代替随机变量  的统计平均，也不能用随机变量  的统计平均来代替一条样本轨道  的时间平均。

为了减小陀螺随机游走误差对系统精度的影响，有效可行的办法是采用滤波技术对随机游走误差进行实时补偿。

图8是对陀螺随机游走误差测量数据进行滤波后得到的随机游走低频波形。

     图8 陀螺随机游走误差低频波形

布朗噪声（维纳过程）随机变量  服从  正态分布（图7），而样本轨道  本身具有线性趋势（图4），并不服从正态分布。

五、股票价格模型及波动规律

（1）股票对数价格的一阶差分为白噪声

诺贝尔经济学奖获得者法玛（Fama）和其他众多学者的实证研究结果表明：股票价格的对数收益率为零均值不相关白噪声序列。

图9为1995年12月1日-2020年12月7日的上证指数及其对数收益率（日），可以看出，上证指数的对数收益率在下一时刻的方向和大小完全随机，与图2所示的白噪声相似。

     图9 上证指数对数收益率（日）

（2）股票价格数学模型

设  为  t时刻的股票价格，则  是时间  的函数。

令  ，则股票价格  的对数收益率可表示为

 （15）

式中  为定义在（-∞，+∞）上的零均值不相关白噪声样本函数。

上式是根据股票市场已有的知识、经验及事实，对过去、现在及未来股票价格运动现象及规律所做出的一种假定性和推测性论断，因此，式（15）也可被称为股票价格运动定律，是建立股票价格科学理论或推导其他命题的基本假设（公理）。

式（15）即为差分形式的股票价格模型，表明股票价格的变化是完全随机的。

显然，  就是上节讨论的布朗噪声（随机游走、红噪声、维纳过程、  噪声）。

假设对数收益率的方差为  ，则可以写出布朗运动形式的股票价格模型

 （16）

式中  为标准布朗运动样本轨道。

也可根据式（15）写出随机游走形式的股票价格模型

 （17）

表明下一时刻的股票价格  等于在当前股票价格  的基础上，再叠加一个随机噪声  。

将式（15）的差分方程看作离散化的微分方程，设  ，则可得积分形式的股票价格模型

 （18）

上式表明：股票价格模型为非线性时变数学模型。

（3）股票指数在对数线性通道内运行

图10为DJIA（Dow Jones Industrial Average）道琼斯工业指数自1896年到2018年的对数曲线，显然，道琼斯工业指数100多年来一直在线性通道内运行，与布朗噪声在线性通道内波动的性质相符。

     图10 道琼斯工业指数线性通道

从图10可以看出，美国历史上发生的五次重大股灾：1929年的“黑色星期二”华尔街股灾、1987年的“黑色星期一”华尔街崩盘、2000年的“互联网泡沫”、2008年的“次贷危机”和2011年的“主权债务危机”均未使道琼斯工业指数改变线性运行趋势。

根据布朗噪声在线性通道内波动的性质，借助股票技术分析中的轨道线作图法，就能预测出股票指数未来的波动范围。

以上证指数为例，将股票分析软件的主图坐标设置为对数坐标，将上证指数历史数据的最高点连成一条直线，可得上证指数波动范围的上轨道线；将上证指数历史数据的最低点连成一条直线，可得上证指数波动范围的下轨道线（图11）。上证指数未来将以99%以上的概率在上、下轨道线构成的线性通道内运行。

     图11 上证指数线性通道预测

如果未来上证指数靠近或跌穿下轨道线运行，则表明股票市场处于熊市的底部；如果上证指数接近或突破上轨道线运行，表示股票市场已到达牛市的顶部。

（4）股价波动幅度与波动周期成正比

根据布朗噪声的幅频特性，可以得出“股价波动幅度与波动频率成反比”或“股价波动幅度与波动周期成正比”的结论。

早在100多年前，发明DJIA道琼斯指数、并创办《华尔街日报》的查尔斯·道（Charles Dow）就观察到股票价格是由基本波动、次级波动和日常波动三种不同周期的波动叠加而成，并发现其中的基本波动的变化幅度最大，上升时形成牛市，下降时形成熊市。

基本波动具有很大的惯性，可以被跟踪预测；次级波动的方向与基本波动的方向可能相同，也可能相反，具有很大的欺骗性，无法提供准确、可靠的决策信息；而日常波动则具有很强的随机性，完全不可预测。

道氏理论的伟大之处在于，100年多前就指出股票价格由不同周期的波动叠加而成，并指出产生周期波动的原因源自投资者的心理行为，并认为基本波动的运动趋势可以被预测。

在2005年-2007年的大牛市中，上证指数从2005年6月6日的998.23点一直上升到2007年10月16日的6124.04点，虽然增长幅度高达613.48%，但平均到每天的基本波动增幅只有0.3%，而同期上证指数日常波动的标准差为3.1%，最大波动幅度为9%，因此，上证指数的基本波动完全被日常随机波动所淹没，如果不借助于滤波技术提取基本波动，人们很难发现隐藏在股票价格中的基本波动。

事实上，传统的技术分析就是利用 K 线、切线、形态、波浪理论和移动平均线等分析方法来过滤股票价格中的短期震荡和随机干扰，来提取股票价格中的低频波动信息，从而为股票投资提供决策依据。

股票分析软件中的MA（moving average）移动平均线利用连续N个交易日收盘价的算数平均值，来消除股票价格中的随机波动（日常波动）和短期震荡（次级波动）。从信号分析与处理的角度看，移动平均计算方法相当于一个数字低通滤波器，其单边带宽为2π/N，噪声减小比NRR（noise reduction ratio）为1/N，因此只要N足够大，就能将随机波动和短期震荡衰减到最低程度。

股票分析软件中的长期MA移动平均线就是股票价格中的低频波动（基本波动）曲线，由于移动平均线计算方法会产生（N-1）/2的相位延迟，使MA移动平均线滞后于实际股票价格，导致MA移动平均线无法为投资者提供实时的低频波动状态信息。

图12为上证指数1998年10月至2020年12月的周K线、60周移动平均线，以及利用滤波技术提取出的同步低频波动曲线。

     图12 上证指数、MA移动平均线及同步低频波动

从图12可以看出，上证指数的60周移动平均线和同步低频波动曲线均为连续、可微、无折点的光滑曲线。移动平均线重要的底部和顶部滞后上证指数约30周，无法为投资者提供实时的买入和卖出信号。同步低频波动曲线的底部和顶部与上证指数的底部和顶部完全重合，能够为投资者提供及时、准确的买入和卖出信号。

六、《数理金融学》的两个常识性错误

（1）将随机过程中的样本轨道和随机变量混为一谈

观察股票价格随时间的波动现象，  时刻的股票价格  是时间  的函数。根据随机过程定义，股票价格  是固定  时的随机过程  ，因此  只能被抽象为随机过程  中的一条样本轨道  ，而非随机变量  。

《数理金融学》将股票价格  抽象为随机变量  ，无形中将研究对象从一条样本轨道改变为大量样本轨道的集合（图13），导致《数理金融学》研究对象发生严重错位，并得出了股票对数价格服从正态分布的谬误。

     图13 《数理金融学》研究对象错位

事实上，维纳过程（布朗噪声）的随机变量  服从  正态分布，而样本轨道  本身具有线性趋势，并不服从正态分布。“股票对数价格服从正态分布”的结论与维纳过程样本轨道性质不符。

（2）用随机变量统计参数描述一条样本轨道的波动程度

从《物理学》角度看，物体温度是度量物体分子运动平均动能的统计参数（图14），是分子热运动的集体表现，没有人会用温度来描述一个分子的动能。

     图14 分子动能与物体温度

《数理金融学》用随机变量  的标准差  （波动率）来度量样本轨道  的波动程度，这就如同用温度来度量一个分子的动能一样荒谬。

从图7和图13可以看出，随机变量  的波动范围随时间  的平方根不断扩大，与布朗噪声和图10 股票指数在固定宽度的线性通道内运行的事实严重不符。

此外，《数理金融学》用随机变量  的方差  来度量风险，意味着《数理金融学》将股票价格向上的大幅波动或投资者获取超额收益的情况也视为风险，无怪乎畅销书《黑天鹅》作者塔勒布（Taleb）说“数理金融学理论通过创造风险来危害金融系统”。

七、总结

金融领域大量的实证研究结果表明：股票价格的对数收益率为零均值不相关白噪声序列，这一结论不仅适用于过去和现在，而且也适用于未来，是建立股票价格科学理论或推导其他命题的基本假设（公理）。

从信号分析与处理的角度看，对数股票价格就是工程技术领域中常见的布朗噪声或红噪声，从惯性导航技术的角度看，对数股票价格就是陀螺仪中必须要实时补偿的随机游走，因此，《数理金融学》要想建立正确描述股票价格的数学模型，必须要将股票价格抽象为随机过程样本函数，然后使用信号分析与处理技术中的布朗噪声数学模型及性质来描述股票价格波动现象及规律。