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随机过程科学革命

已有 989 次阅读 2021-2-14 21:11 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记

一、科学革命

科学革命是指当原来的科学知识体系或教科书内容出现理论与经验事实不符、与其它学科理论发生冲突或无法解决实际问题等一系列反常现象时,而导致新的概念、方法和理论推翻并替代原有教科书的内容,使科学知识体系发生根本性的变革,从而把人类对客观世界的认识提高到一个崭新的水平。例如,哥白尼的日心说替代托勒密的地心说就是一次著名的科学革命。

日心说.gif

图1 日心说与地心说

科学革命的本质是思维方式的重大变革。在科学革命过程中,从某一学科的突破中形成的科学思维方法将迅速向其他学科传播,甚至向广泛的社会生活领域渗透,从而发展成为一种普遍的科学思维方式,使人类对客观世界的认识发生质的飞跃,并对人类社会实践产生巨大影响。

二、范式危机

科学革命的征兆就是在理论研究领域和实际应用过程中,出现了大量的反常现象而引起范式危机。

人类在自然界和社会实践活动中所遇到的各种运动现象可分为确定性运动和随机性运动两大类。

1687年,牛顿以质点作为研究对象,将质点位移抽象为时间函数,创立了质点运动学和动力学理论,揭示了质点的确定性运动规律,使人类在认识质点确定性运动现象及规律方面产生了巨大的飞跃,对科学发展进程以及人类生产生活和思维方式产生极其深刻的影响。

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图2 牛顿

1905年,爱因斯坦对随机运动现象进行了定量研究。由于宏观可观测物理量与大量微观粒子的统计特性有关,因此爱因斯坦并没有关注单个布朗粒子的随机运动规律,只研究了由大量布朗粒子组成的热力学系统的统计规律,并得出了布朗运动服从正态分布的结论。

1908年,法国物理学家朗之万依据牛顿运动定律,建立了单个布朗粒子随机运动的动力学方程,并对大量布朗粒子的位移求平均,得出了与爱因斯坦布朗运动理论相同的统计规律。

1923年,维纳根据爱因斯坦的布朗运动物理模型,建立了布朗运动数学模型——维纳过程(Wiener process)。与爱因斯坦和朗之万等物理学家的关注点不同,维纳关心的是“一个布朗粒子所走曲线的数学性质”,也就是单个质点的随机运动规律。

维纳将单个布朗粒子作为研究对象,并将单个布朗粒子(质点)的位移抽象为随机变量,因而得出了“布朗运动样本轨道服从正态分布”、“布朗粒子位移与时间的平方根成正比”和“布朗运动样本轨道处处不可导”等结论,为随机过程学科研究质点随机运动规律奠定了概念、方法和理论基础,但也同时给随机过程学科埋下了范式危机隐患,出现了下述一系列反常现象。

1、理论与观察实验不符

设 [公式] 为质点在 [公式] 时刻的位置,质点在 [公式] 时从原点出发做一维布朗运动,可观察到一条布朗运动样本轨道曲线(图3)。

布朗运动.png

图3 布朗运动样本轨道

维纳将单个布朗粒子的位移 [公式] 抽象为随机变量,得出了 [公式] 服从正态分布的结论。

假设 [公式] 服从正态分布,根据正态分布的性质, [公式] 应具有如下两个特点:

(1)对称性。绝对值相等的正、负位移出现的次数大致相等。

(2)集中性。在0点附近出现的位移次数最多。

但从图3的布朗运动样本轨道曲线可以看出,布朗粒子随时间远离原点,其位移 [公式] 既不符合正态分布的对称性,也不符合正态分布的集中性

事实上,爱因斯坦关于“布朗运动服从正态分布”的结论指的是大量布朗粒子在某一时刻的空间位置分布。观察1000个从原点出发做一维布朗运动的布朗粒子,可得到图4所示的1000条布朗运动样本轨道曲线。

布朗运动样本轨道.png

图4 布朗运动样本轨道与随机变量

从图4可以看出,1000个布朗粒子随时间向远离原点的方向扩散。爱因斯坦“布朗运动服从正态分布”的结论是指这1000个布朗粒子在 [公式] 时刻的空间位置服从 [公式] 正态分布,而不是单个布朗粒子的位移服从正态分布。

维纳将单个布朗粒子的位移 [公式] 抽象为随机变量,还得出了“布朗运动样本轨道处处不可导”和“布朗粒子瞬时速度无穷大”的结论。

2010年,美国得克萨斯大学的李统藏成功地测量到了直径为 3 微米的单个布朗粒子瞬时速度。布朗粒子瞬时速度的波形是均值为零、RMS(Root Mean Square)均方根为 0.422mm/s 的高频白噪声(图5)。李统藏的实验结果表明:布朗运动样本轨道的导数不仅存在,而且瞬时速度可观测

速度.png

图5 布朗粒子瞬时速度

李统藏的实验结果在《科学》杂志上发表后在全球引起了极大反响,《科学》杂志为论文专门配发了录音采访,《自然》杂志随后也迅速报道了该实验。

李统藏的布朗粒子瞬时速度测量实验被Science杂志推荐为高中及大学教学内容,美国明尼苏达大学等学校的相关课程已经将该实验作为教学内容。

2、与物理学研究方法及结论不一致

牛顿在研究质点运动现象和规律时,将质点在 [公式] 时刻的位置 [公式] 抽象为时间函数 [公式] ,而维纳在研究质点运动现象和规律时,却将质点在 [公式] 时刻的位置 [公式] 抽象为 [公式] 时刻的随机变量 [公式] 。

质点位移.png

图6 质点位移数学抽象

维纳将布朗粒子的位移抽象为随机变量 [公式] 后,根据 [公式] 服从正态分布和方差与时间成正比的统计特性,得出了著名的布朗粒子位移公式

位移公式.png


图7 布朗粒子位移公式

上式表明:布朗粒子的位移与时间的平方根成正比,与物理学“质点位移与时间成正比”的机械运动规律不一致。

3、广泛应用导致金融危机

数理金融学根据《随机过程》将质点位移抽象为随机变量的研究方法,将随时间变化的股票价格抽象为随机变量,并用描述随机变量发散程度的统计参数来描述股票价格的波动程度和投资风险,因此建立的数学模型和定价公式不可能正确描述股票价格波动现象并预测其风险,在实际应用时给金融市场带来了巨大的灾难。

被誉为“中国金融数学开创者”、获得2020未来科学大奖“数学与计算机科学奖”的彭实戈院士,在科技部基础研究司编写的《中国基础研究发展报告(2019年)》中明确指出:Black-Scholes 期权定价理论是造成以前历次重大金融危机的关键性原因

畅销书《黑天鹅》作者塔勒布(Taleb)在《金融时报》上发表了题为“破坏市场的伪科学”专栏文章,对数理金融学理论进行了严厉的批判。塔勒布在文章中指出:人们从一次又一次的金融危机中得出了“数理金融学理论的有效性与占星术一样不靠谱”和“数理金融学理论通过创造风险来危害金融系统”的结论。

塔勒布痛斥数理金融学是破坏市场的伪科学,数理金融学理论获得诺贝尔奖不仅仅是对科学的侮辱,而且一直使金融体系面临崩溃的风险

三、危机原因

1、使用随机变量符号 [公式] 表示样本函数

随机过程使用二元函数 [公式] 来描述动态随机现象在空间和时间的演变过程。对于固定的时间 [公式] , [公式] 是状态变量 [公式] 的函数,称为随机变量,简记为 [公式] ;对于固定的状态 [公式] , [公式] 为时间变量 [公式] 的函数,称为样本函数或样本轨道,简记为 [公式] 。

我们以布朗运动为例,来说明随机过程 [公式] 、随机变量 [公式] 和样本函数 [公式] 三者之间的关系。

图8为10个同时从原点出发的一维布朗粒子样本轨道 [公式] ,所有布朗粒子在 [公式] 时刻的位置 [公式] 就是随机变量 [公式] 在 [公式] 时刻的状态。随机过程 [公式] 即可成是随机变量 [公式] 的集合,也可看成是样本轨道 [公式] 的集合。

Brownian_motion.png

图8 随机过程(布朗运动)

函数符号具有明确的对应法则、定义域及值域,且与现实世界中的客观事物(研究对象)紧密联系。样本函数 [公式] 用来描述一个质点的位移随时间变化过程,随机变量 [公式] 则用来描述所有质点在某一时刻的空间位置分布,因此,样本函数 [公式] 和随机变量 [公式] 是两个具有不同对应法则、定义域及值域的单值函数, [公式] 。

但是,《随机过程》教科书却使用随机变量符号 [公式] 表示样本函数 [公式] ,无形中改变了样本函数x(t)的内涵和外延(定义域和值域),导致研究对象从样本函数改变为随机变量,并使用随机变量 [公式] 的空间统计特性来描述样本函数 [公式] 的时间运动规律,势必会出现与事实不符的反常现象。

2、直接将质点位移抽象为随机变量

以钱敏平、龚光鲁、陈大岳和章复熹四位教授为北京大学数学学院三年级学生合编的《应用随机过程》教材为例:

随机过程(stochastic process)是一个运动的粒子。假设我们最初将粒子放置在位置 [公式] ,然后将之挪动到位置 [公式] ,然后再将之挪动到 [公式] ,……。于是,粒子在空间 [公式] 中运动的轨道便成为一个随机变量序列 [公式] , [公式] , [公式] ,…,其中 [公式] 表示该粒子在时刻 [公式] (即运动 [公式] 步后)时所处的状态(或位置),我们称这个随机变量序列为一个离散时间参数的随机过程。因此,我们可以将随机过程理解为一条随机轨道,随机过程的本质是这条随机轨道的分布。

《应用随机过程》教材将随机过程 [公式] 理解为一个运动的粒子,并将一个粒子(随机游走、泊松跳跃和布朗运动)在不同时刻的位移 [公式] 直接抽象为随机变量 [公式] ,导致研究对象从一个粒子变为大量粒子改变了样本函数 [公式] 的定义域和及值域,必然会推导出一系列与事实不符的错误结论。

四、范式变革

随机过程理论无论是使用随机变量符号 [公式] 表示样本轨道 [公式] ,还是直接将随机运动的质点位移抽象为随机变量 [公式] ,均会导致研究对象从一条样本轨道改变为样本轨道的集合,改变了样本轨道的内涵和外延,从而会推导出一系列与事实不符的错误结论,为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。

所谓“范式变革”是指《随机过程》教科书中原有错误的样本轨道研究方法及理论被彻底颠覆,随机过程学科将纠正用随机变量符号 [公式] 表示样本轨道 [公式] 的概念错误,摒弃将质点位移直接抽象为随机变量 [公式] 的方法错误,在全新的范式下重建随机过程样本轨道理论(图9),为自然科学、工程技术和社会科学提供正确的样本轨道理论、方法及工具。

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图9 《随机过程》知识体系变革

图10给出了新、旧两种范式下布朗运动样本轨道性质的研究结果。新范式与旧范式之间没有公约数,只有研究对象的不同,以及时间函数与随机变量、元素与集合、时间与空间等质的差别

范式对比.png

图10 布朗运动样本轨道性质

五、展望

“与实际结合,问题驱动”是随机过程等应用数学学科发展的不竭动力和重要特征。《随机过程》教科书使用随机变量符号 [公式] 表示样本轨道 [公式] 的概念错误,或将随机运动质点位移 [公式] 直接抽象为随机变量 [公式] 的方法错误,为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。随机过程理论的范式转换,将使人类认识随机运动现象的思维方式产生重大变革,颠覆和改变现有自然科学、工程技术和社会科学对随机运动现象的认知,使人类对随机运动现象及规律的认识发生质的飞跃,在自然科学、工程技术和社会科学领域掀起一场广泛持久的科学革命,对科学、社会和经济发展产生重大影响,也为中国的随机过程学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。




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