高宏
反证法证明随机游走的醉汉不可能返回原点
2020-11-4 11:13
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一、随机游走模型及方差

《随机过程》教科书给出了一维简单随机游走模型的定义及方差。

[公式][公式],…,[公式]为独立同分布[公式]随机变量,

[公式]

定义

[公式]

为从原点 [公式] 出发的一维简单随机游走。

由 [公式] 的定义,可直接得出 [公式] 的方差

[公式]

上式说明 [公式] 的方差具有如下两个重要性质:

(1) [公式] 在原点 [公式] 的方差为零, [公式] ;

(2) [公式] 在第 [公式] 步时的方差等于 [公式] , [公式] , [公式] 。

从上述两条性质可以得出结论

结论1: [公式] 时, [公式] , [公式] 。

[公式] 和 [公式] 始终是方差不同的两个随机变量,表明 [公式] 永远也回不到初始状态 [公式] 

二、Polya随机游走定理

Polya随机游走定理:一维或二维简单随机游走是常返的。

常返性表明:

[公式]

即从 [公式] 出发的一维随机游走 [公式] 访问 [公式] 无穷多次的概率为1。

三、反证法证明

假设一维随机游走 [公式] 在第 [公式] 步时([公式],包括趋于)访问原点 [公式] ,此时有

[公式]

则 [公式] 的方差为

[公式]

这与 [公式] 矛盾,证明随机游走 [公式] 在第 [公式] 步时回到原点 [公式] 的假设不成立,表示一维简单随机游走 [公式] 不可能回到原点 [公式] 。

结论2:一维简单随机游走的常返性[公式]与方差 [公式] 在逻辑上不能自洽。

事实上,从结论1可以看出,一维简单随机游走常返性的前提 [公式] 根本就不存在。

四、文章证明方法简要说明

依据一维简单随机游走的方差公式

[公式]

得出了

[公式] 时, [公式] , [公式]

表明[公式] 永远也不可能回不到 [公式] ,与教科书结论不一致。



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