欧几里得 <几何原本> 到底讲了什么?
What Is in the Elements of Euclid?
中国科学技术大学 物理学院 强家璇
引言
“No other books except Bible has been so widely circulated.” [1]
欧几里得 <几何原本> (简称 <原本>) 的大名, 可谓 “妇孺皆知”, 却似乎并非 “老少咸宜”, 真正去读的, 即便在理工科大学生之中, 也是少之又少. 想来其中一个很重要的原因是 “经典无用” 思想的鼓吹, 即认为后人已经整理前人成果并且发展出了更好的教科书, 没有必要再回去读晦涩的原著. 那么时至今日, 读以几何原本为例的科学元典还是否值得? 相信这篇文章可以有助于回答这个问题. 本文以原本原文为主, 历史资料为辅, 从一位理科专业本科生的视角分析 <原本> 的具体内容, 并浅谈该书对欧洲自然科学发展的影响, 最后附上个人收获的分享.
关键词
几何原本, 欧几里得, 欧式几何, 逻辑
* 阅读提示
最低配置: 初中三年级 (英语部分除外)
建议配置: 理工科专业低年级本科
预计时长: 20 min
阅读建议: 文中有许多含有命题证明的图片, 节选自英文版 <原本>, 建议先主要读本文内容, 图片则作为参考阅读材料. 略过命题证明不影响理解文章核心, 但仍建议有时间的读者品读证明, 易懂是该版本 <原本> 的特色.
文中图片没有标明 Credit 的均为公共图片.
1.1 <原本> 的背景与内容
首先是历史背景. <原本> (Elements) 由古希腊数学家欧几里得 (Euclid) 整理而成. 直接说欧氏为作者不太合适, 因为本书的内容多有更早的根源, 欧氏的工作更贴切地说是整理成书 [*]. 当然, 就这部巨著而言, 即便只是整理的工作, 都值得钦佩. 全书自成体系, 风格在当时必然是独树一帜. 其成书时间约为300 B.C., 但真正原始的版本已无从考究.
事实上, 类似圣经的结构, <原本> 并不是一本书, 而是一系列书组成的有机整体, 共包含13本书. 主要脉络是: 平面几何 -> 比例与数 -> 立体几何. 所以, <原本> 包含的内容比想象的要多 – 不仅与平面上的线段和图形打交道, 还对具体的数, 比例, 甚至立体几何有研究. 也难怪数学上三维空间被成为 “欧式空间”!
既然是一系列书组成的整体, 那么应该有一致的逻辑特征将全书串联起来. <原本>的特征, 也是全书的风格, 就是 “Nothing but propositions and their proofs”, 可谓简洁明快, 一语中的. 全书每一 BOOK 的结构均为: 定义 -> 假设 (Axioms, Postulates) -> 多个命题.全书最经典的平面几何部分是前三个 BOOK, 其中第一本是基础的平面几何, 后两本分别着重于四边形和圆的细化命题. 下面以最具代表性的 BOOK1 为例来分析欧氏平面几何, 试让读者初步感受经典逻辑之美.
1.2 定义
虽然只是定义的前两条, 却足以看出这些定义的必要性和深刻性. “has no parts”, “without breadth”, 直译为不可分割, 而言下之意是 “要多小, 有多小.” 这不正是严格化微积分的 ε-δ 语言的思想吗! 笔者清楚地记得, 上初中时, 学习圆的切线曾一直觉得苦恼. 拿着一个硬币立在木头桌子上, 我得意地和同桌说, 如果你拿一个显微镜看这个交界, 它一定是相交的!
人直观的理解都是以物质经验为指导, 缺乏抽象定义的能力. 即便是二十一世纪的中学生尚且难以迅速接受, 可见欧氏的思想是很超前的. 另一个值得注意的定义:
注: 老版本印刷 "s" & "f" 有时很像, 需区分.
定义 “平行线”. 欧氏的定义是 “永不相交”, 又一次是极限的思想. 只是笔者认为这里用这个定义不太合适, 因为不易验证 – 永不相交, 难道要永远延长? 这里用内错角之类的侧面定义似乎更好.
1.3 假设
欧氏的假设分为两种, 一是 Postulates, 二是 Axioms. 对于后者大多人都比较熟悉, 那么前者是什么呢? 经查阅, 两者性质相同, 都是必要的假设, 稍有区别的是 Postulates 偏向当下讨论的问题. 比如 BOOK1 要大量用到点线和圆的作图, 所以就关于作图提出了一些共识:
至于大家更熟悉的公理, 也是大家乐于接受的共识, 如
这两条公理分别是等式的传递性和可加性. 数学的方便之处在于没有量纲的顾虑, 量与量之间的运算不会发生物理意义的矛盾, 因此这类公理是很合理的. 若要考虑物理量纲, 就应该慎重一些, 如著名的 “热力学第零定律” 讨论的就是温度中等号传递的合理性.
下面正式进入命题部分.
1.4 命题
BOOK1 共有近50个命题, 以下精选的是一些笔者认为很有意思, 并且具有逻辑代表性的命题.
有必要提前说一句, 欧氏有一条没有明说却胜似公理的有趣规则, 总结一下, 就是一切遵循传统的尺规作图. 传统的意思是, 尺规没有刻度, 而且不能做含有系统误差的操作, 比如用圆规比一个半径然后拿起来, 放到另一块再作同一半径的弧 – “拿起来” 就带有了系统误差! 这和初高中做几何问题的要求是不一样的. 所以有的命题证明看起来笨, 实则是严谨!
==命题 I, II.==
第一个命题的目的, 就是做出等边三角形 (equilateral). 这个命题看起来没那么重要, 但欧氏很喜欢, 事实上后面的命题用这个技巧用的很多, 因此被放在第一位. 基于这个技巧, 给出了第二个命题
本命题原话是说, 过已知线段外一点作一相等的线段, 言下之意是 “有了这个命题我们就可以自由地 Copy 线段了”.
==命题 IV.==
这个命题都是文字, 就不放图了. 命题正是我们熟知的 SAS 全等. 说是熟知, 却又不熟知 – 事实上, 注意在<原本>中, 我们初中所学的一些共识, 如SAS, AAS 这些证全等的条件, 以及同位角和内错角的性质等, 都是要证明的!
==命题 V, VI.==
这两个命题是三角形等腰和等底角的互推. 本身很简单, 而有趣就有趣在两个典型的数学思想: 反证法和充要性. 首先由 V 证明了等腰三角形 => 等底角, 然后再 VI 中翻转条件, 先有等底角, 能不能等腰? 这就是充要思想的雏形. 没有受过数学训练的思维, 是不容易考虑充要性的, 往往惯性地认为若 A 有 B, 则 B 也有 A. 比如有些朋友, 看到一些行为不雅的某省人, 就下结论说该省人是行为不雅的, 忌讳三分, 实属多虑. 回到正题, 有了充要的想法, 那么具体该怎么证呢? 欧氏采用了经典的反证的方法: 假设相反的结论成立, 看能不能推翻假设, 一旦推翻, 则说明所做假设不成立, 即原命题成立.
而且这两个典型的方法并不是偶然地出现, 光在 BOOK1 中就有多次有意识的运用. 在两千多年以前就有这样系统的逻辑思维, 令人赞叹.
==命题 XXI.==
本命题有两个内容: 同底边的内部三角形两侧边之和小于外部的, 以及内部三角形顶角大于外部的. 这个命题属于典型的乍一看比较显然, 仔细一想又不那么显然的, 尤其是顶角关系. 值得注意, 读 <原本> 的过程常常会有这种感觉, 此时最好耐下性子, 压抑 “显然” 的想法, 读完证明, 方可受益.
之后的都是一些比较基础但却不乏技巧的命题, 也正体现了 BOOK1 的特色: 基础但又充分反映 <原本> 的逻辑. 作为命题的收尾, 再来欣赏一个著名的命题 – 勾股定理 (Pythagorean theorem)
==命题 XLVII.==
尽管勾股定理有许多证法, 欧氏的证法仍不失为妙. 另外, 全书命题总量颇为可观, 欧氏的证法时常不是最简洁的. 只是简洁也并不代表最好, 如果另一种方法稍显繁琐, 却更为自然, 或是运用了更多的知识而有助于开放思维, 那么这些方法都算不错.
阅读 <原本> 最大的感受就是层层递进, 承上启下, 往往一个命题能够牵连前面好几个命题, 并且又为更多的命题作铺垫, 正体现了几何逻辑的魅力.
2.1 <原本> 的影响力
其实在 <原本> 出现后的相当一段时间, 它的定位都是教科书. [3] 不过光这一点就足以让它名扬海内外, 上千年使用的教科书啊! 那么, 作为教科书的 <原本>, 有没有起到它教育的意义呢?
答案是有的, 甚至是非常明显. 事实上, 笔者本次阅读原本的一大动机正是受了牛顿的 <原理> 的激励 – 本来想先研读原理, 结果读了几篇就发现自己不适应规整的命题体系和大量的几何手段, 而这些都是源于欧氏的原本.
欧氏与牛顿相隔将近两千年, 都能促使牛顿仿效欧氏的脉络来写作, 而且不仅是表观结构, 连内容技巧都常有欧氏结合的影子. 牛顿本是微积分这种分析手段的奠基者, 对于他而言其实几何算不得最简洁的方法, 但他坚持仿效欧氏来写就 <原理>, 兴许对于当时的他而言, 几何手段是更为整洁和优美的. 笔者的教授也曾感慨, “十年前我觉得这本书 (原理) 太 out 了, 现在越来越佩服牛顿用几何方法处理问题的高超技艺… 把复杂的问题用简单的几何图形表示出来, 今天还是适用的, 而且弥足珍贵.”
和牛顿时代相近的, 受欧氏影响匪浅的还有法国科学家帕斯卡 (Blaise Pascal). 有幸拜读过帕斯卡的 <思想录> 一书, 书中第一个记录的思想就是论 “几何学精神 (Geometrical Spirit)” 和 “敏感性精神” [5], 其中前者指的并不是图形化思维, 而是公理化的严格逻辑演绎, 正是欧氏 <原本> 的精神. 值得一提的是, 帕斯卡在该文章认为绝对属于某种精神的都不合适, 更合适的是两种精神的结合, 要有逻辑演绎的能力, 同时不能拘泥于纯粹逻辑, 也要有敏锐的对本质的感知.
一个近代的典例是爱因斯坦. 记得爱因斯坦曾直接提过欧氏对他的影响, 包括思考广义相对论时对时空弯曲的启发. 即便从侧面也能看出这一点, 一个有趣的事件是爱因斯坦对一个中学生请教几何问题的回应. 老人家认真地写了证明, 并且不忘循循善诱一番.
关于这个趣事, 网上有更详细的解读. 不知该中学生后来有没有大受鼓舞, 精通几何技法呢!
由以三个典型人物的例子, <原本> 对欧洲自然科学发展的(间接)贡献可见一斑. 但那些影响毕竟是对别人的, 显得有些遥远, 于是笔者最后希望简要总结一下自己阅读的收获.
3.1 个人收获总结
首先是对 “充要”, “反证” 两个思想的再强化. 读一些命题并不会直接增长我在数学分析中证明命题的能力, 但是让我见识了数学中两个经典思想之所以经典的原因, 在之后的学习中我也会更加关注这些思想的使用.
还有是更加注意事件的逻辑原因, 以及尝试建立共识, 之后再推理(公理化). 这倒并不是说将公理体系应用到日常生活, 这样是生搬硬套, 得不偿失; 而是说以后处理问题可以有类似公理思维的经验. 笔者想起来在大一初学微积分时, 大家调侃的一句话 “学习分析就是两个感叹, ‘这也要证?’ 和’这也能证?’ ” 其中 “这也要证?” 生动简洁地表达了学生们对处理显然问题时太过学究的不满. 然而随着大学学习的深入, 这种话说的慢慢少了, 原来显然的, 似乎不那么显然了. 在读了 <原本> 之后, 这种感觉更加明显 – 如果总是抱着 “这不显然吗” 的态度, 许多的证明都会看不进去, 事实上, 在冷静思考后也发现那些问题并不那么显然. 这就是重视逻辑原因. 而尝试建立共识的意思是, 遇到问题, 在进行逻辑尝试后发现并不容易得出证明, 但又有能够接受的感觉, 于是就干脆先大胆接受, 继续推理. 即便做的假设不合适, 也会在足够的推理后显现出来.
最后额外分享一点, 是关于几何学习的效率. 读者可能已经注意到, 文中大量出现笔者配的 “原文” 竟然都是以图形的方式完成的证明, 宛若一股清流. 这本书的目的正是在此: “使用彩色的绘图和标志替代字符, 以给读者提供更大的方便.” [*]
当命题不是很复杂时, 绘图的方法更有助于阅读命题, 彩色的设计也进一步避免了混淆. 因此这本书是 <原本> 各个版本中的一大创新. 而该书已有逾百年的历史, 笔者惊叹西方印刷技术之余也想, 时至今日, 有没有进一步高效的方法? 有, 动画就是更有力的工具. 在动画 [6] 的帮助下, 笔者阅读命题的速度得到了大幅提升, 有助于本文的完成, 功不可没!
综上所述, 回到开头的问题: 在现代, 读以几何原本为例的科学元典还是否值得? 至少就 <原本> 而言, 笔者的答案是: 值得一读, 颇有收获. 只是要注意, 不应是抱着增加专业知识的心态去阅读元典, 若是想直接提升专业素养, 的确不如找一本现代的教材. 但对于增广知识面, 获取原始的科学思维灵感, 元典类书籍必然胜过一般的科普读物. 另外, 还要考虑知识要求, 比如若没有对 <原本> 的知识, 几何功底也不佳, 直接读本就不简明的牛顿 <原理> 会比较低效, 容易不明所以, 最后累积的厌烦很可能又会助长 “经典无用” 思想的传播, 收到反效果.
注释及参考资料
[1]: https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/Greek/euclid
[2]: http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid
[3]: Encyclopedia of Ancient Greece (2006) by Nigel Guy Wilson, p. 278.
[4]: I. Newton. 自然哲学之数学原理. 北京大学出版社, 2005.
[5]: B. Pascal. 思想录. 商务印书馆, 1985.
[6]: http://pythagoreanmath.com
[*]: The Elements of Euclid (1847) by O. Byrne.
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