打弹弓与仰望星空
作者：喧无，胡霞
中国科学技术大学物理学院、工程科学学院
摘要：
说到弹弓与星空，喜欢科幻的读者马上要想到引力弹弓了，对不对？不过我们将要讨论的并不是这个。要想弹弓打得准，量准距离不可少。本文将要讨论的是，如何粗略地测量我们与一个物体的距离，和与此原理相似，用来测量天体距离的三角视差法，以及另外两种较为传统的恒星测距法。测量天体距离的方法很多，每种都有一定的适用范围，我们按照距离由近到远的顺序进行介绍。
一．简易测距法
现在，假设我们要玩弹弓。首先拿一把尺子，把手臂伸直。闭上右眼，用左眼把尺子的零刻度线对准物体。再保持手臂不动，闭上左眼，用右眼看物体对准的尺子刻度，读数。在图1中，以10cm刻度线为零刻度线，测量的是到中间那根旗杆的距离。
图1：BD实测图（图片由笔者拍摄）
在图2中，EH为人左眼与右眼的距离，即瞳距；CF为拿着尺子的手臂伸直的长度；AF为我们要测的，即我们到目标的距离：BD为在尺子上读出的长度。图1中读出BD为6.35cm，测量人员的EG为6.45cm，CF为62cm，算出AF为40m。
只要测出自己的瞳距EH和手臂长度CF（注意EH至少要精确到mm，否则误差较大），把数据代入图2中的这个公式就能算出AF，喜欢玩弹弓的读者不妨一试。
图2：测量距离简易方法（图片由笔者手绘）
二.三角视差法
人类能够判断自己跟某个物体之间的距离，要归功于长了两只眼睛。如果我们把一个物体放在眼前，闭上右眼用左眼看，再闭上左眼用右眼看，就会发现物体的位置有变化。这样，观测者在两个不同位置看同一个物体的方向之差就是视差。这样两次观测得到结果的差异，就能用于计算观测物体的距离。
三角视差法是一种利用不同视点对同一物体的视差来测定距离的方法。对同一个物体，分别在两个点上进行观测，两条视线与两个点之间的连线可以形成一个等腰三角形。根据这个三角形顶角的大小，就可以知道这个三角形的高，也就是物体与观察者的距离。
1.地球半径
在古希腊时期, 人们认为地球是平板状的。直至公元前三世纪, 以亚里士多德为代表的学者们才提出地球是球体的观点。地球为球体的观点对爱奥尼亚人平板状观点的取代, 显然会给地理学带来深远的影响。
大约2500年前，希腊旅行者报告说，当一个人走到遥远的北方或南方时，天空中可以看到不同的星座。敏锐的观察者也会注意到，在月蚀期间，地球所投射的阴影有一个圆形的边缘。学者埃拉托色尼（Eratosthenes，公元前275一前193，生于希腊）巧妙地将天文学与测量学结合起来，第一个提出在夏至日那天，通过记录太阳在相距几百公里的地方投射阴影的长度差异来估计地球的大小。他用简单的几何方法加以研究分析，从而总结出计算地球圆周的科学方法。
图3：埃拉托色尼（图片来自网络）
埃拉托色尼选择了在同一条经线上的非洲北部殖民地塞恩城（Syene，今天的埃及阿斯旺）和亚历山大里亚，在夏至日那天进行太阳位置的观察和比较。在塞恩城附近，尼罗河的一个河心岛洲上，有一口深井，夏至日那天正午阳光直射井底。这表明太阳正好位于天顶，地面上所有的直立物都应该没有影子。这一现象闻名已久，吸引了许多旅行家前来观赏。因此，埃拉托色尼判定塞恩城位于北回归线上。但是，亚历山大里亚地面上的直立物却有一段很短的影子。埃拉托色尼认为：直立物的影子是亚历山大里亚的阳光与直立物之间的夹角造成的。于是，他在亚历山大里亚选择一个很高的石柱作参照，测量了夏至日那天正午石柱阴影的长度，从而量出直立的石柱和太阳光射线之间的角度。
埃拉托色尼运用了泰勒斯的数学定律，即一条射线穿过两条平行线的同位角相等。他假设太阳离地球如此之远，以至于光线是平行的。从地球是圆球和阳光沿直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大里亚引两条直线，两条半径的夹角应等于亚历山大里亚的阳光与直立物形成的夹角。知道两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。
图4：测地球半径示意图（图片来自网络）
埃拉托色尼通过观测得到的角度为7°12′，约等于圆周角360°的1/50。这表明，这一角度对应的弧长，即从塞恩城到亚历山大里亚的距离，相当于地球周长的1/50。埃拉托色尼借助皇家测量员的测地资料，得知两个城市的距离为5000希腊里（约787.5公里）。得到这个结果后，地球周长只要再乘50即得，结果为25万希腊里。为了符合传统的圆周60等分制，埃拉托色尼将这一数值增加到25.2万希腊里，以使其可被60除尽。埃及的希腊里约为157.5米，换算为现代的公制后，地球圆周长约为39375公里。经埃拉托色尼修订后为39690公里，与地球的实际周长40076公里相差无几。尽管他的测量不是很准确，但与真实数据相差不超过两个百分点（1.75%）。
2.地月距离
1715-1753年，法国天文学家尼古拉·路易·德·拉卡伊（Nicolas Louis de laCaille，1713—1762）和他的学生拉朗德（Larand）分别同时在在基本位于同一经线的柏林天文台和南非的好望角天文台观测月球，用三角视差法测定地月距离。
图5：尼古拉·路易·德·拉卡伊（图片来自网络）
几何学中有一条“角边角定理”，已知三角形两角及其所夹一边即可求解该三角形。三角视差法测定地月距离时采用的基线是地球半径。图四中E（Earth）为地球，M（Moon）为月球，角P为地平视差，R为地球半径，L为地月距离。根据三角函数可得公式：$\sin(P)=R/L$ ，则$L=R/\sin(P)$ 。由于地心不能到达，实际是在地面上处于同一经线的两地测量来达到目的。拉卡伊测出的地月距离为地球半径的60倍，即38万千米。
图6：测地月距离示意图（图片来自网络）
3.恒星距离
接下来，我们需要了解一下天文距离单位了。常用的天文距离单位有天文单位（AU）、光年（ly）和秒差距（pc）三种。太阳与地球间的平均距离为1天文单位，1天文单位≈1.5亿千米。光在一年内传播的距离为1光年，1光年≈6.3万天文单位≈9.5万亿千米。秒差距是一个天文单位张角为一角秒时对应的距离，1秒差距≈3.3光年≈21万天文单位≈31万亿千米。
早在哥白尼时代，人们就知道如果日心说是正确的，在地球公转过程中观看较近的恒星时，该恒星会在遥远的天球背景上不断改变位置。地球绕日公转一周，该恒星就在天球上画一个小椭圆。这叫作恒星周年视差位移。哥白尼提出日心说后近三百年，许多天文学家，包括著名的第谷，都试图测量恒星的周年视差。但他们都没有成功，以至于有人开始怀疑哥白尼学说的正确性。
直到1838年，德国数学家、天文学家弗里德里希·威廉·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel，1784年—1846年）精确测定了岁差常数和恒星视差。
图7：弗里德里希·威廉·贝塞尔（图片来自网络）
贝塞尔第一个成功测量了恒星视差，并估计最近的（因而也是视差最大的）半人马座α星与地球的距离为4.3光年。他导出了用于天文计算的贝塞尔公式，写出了贝塞尔函数（就是在课程《数学物理方程》会学到的贝塞尔函数），讨论了该函数的一系列性质及求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。
三角视差法测定恒星距离时所采用的基线不再是地球半径，而是地球公转轨道半径。
图8：测恒星距离示意图（图片来自网络）
人们把从地球上观测到的，恒星在天球上的平均位置作为它的实际位置。从地球上观测到恒星的位置同这个平均位置比较起来，总存在一点偏离。把地球公转轨道近似看作圆形，恒星与太阳之间的连线r恰好与地球公转轨道半径a相垂直时，同一恒星的视差位移达到极大值。此时地球公转轨道半径对恒星有一个张角α，叫作恒星周年视差，即恒星、地球和太阳构成直角三角形的较小角。地球位于公转轨道的A点时，地球上的观测者看到恒星位于天球的A'点；半年后地球位于公转轨道的B点时，观测到恒星位于天球的B'点。这两点之间角距离的一半，就是恒星周年视差。
恒星周年视差可由相隔半年2次恒星位置的测定计算出来：$α≈\tan(α)=a/r$。
恒星周年视差与距离成反比，已知a和α，则恒星距离$r=a/\alpha$ 。
贝塞尔报告说半人马座α星的视差为0. 75角秒，即相当于把一枚分币放在两千米远处观看时的张角。这个视差是以地球轨道的直径为基线观测到的，表明半人马座α星在大约4.3ly，即41万亿千米处。
在更早的1672年，一位在意大利出生的法国天文学家和水利工程师乔凡尼·多美尼科·卡西尼（Giovanni Domenico Cassini，1625年6月8日出生于意大利佩里纳尔多，1712年9月14日逝世于法国巴黎）就已经用此法测出了火星（太阳系行星）的距离。
4.局限：这种方法目前仅适用于测定距离300光年以内的恒星。
三.分光视差法
对于更遥远的，比如距离超过110秒差距的恒星，周年视差非常小，距离无法用三角视差法测出。于是，天文学家又发展了另外一种比较方便的方法——分光视差法。
观测到恒星的明暗程度称为视亮度，天文学上用视星等m表示。星体的发光能力不变时，视亮度与观测距离的平方成反比。这正如我们在远处看同一盏灯时，灯的亮度看起来会更暗一样。因此，天体的视亮度并不能代表其发光本领。为了比较不同恒星的真实发光能力，就必须先设想将它们移到相同的距离再比较，天文学上把这个距离定为10秒差距。在标准距离处恒星的视亮度为光度（绝对亮度），其星等为绝对星等M。
利用两条规律来解决问题，一条是质量较小的恒星位于主序上，另一条是这些恒星全都满足主序星所应有的颜色光度对应关系。也就是说，我们认为那些质量相似，年龄相仿的恒星，如果它们的距离相同，那么亮度也应该是一样的。这样一来，只要能测出一个星团中某一颗主序星的颜色，其光度就能够根据恒星的光谱确定。对比光度和直接观测这颗星得到的视亮度，按平方反比律略作计算，即可求出这颗星的，也就是这个星团的距离。
局限：这种方法要拍摄恒星的光谱，但当恒星距离超过100千秒差距时，就难以拍到恒星的光谱了。因此也就无法知道它们的准确光度，无法测定其距离了。
四.造父周光关系测距法
大质量恒星演化到晚期会有不稳定的脉动，光度随之作周期性变化，成为脉动变星。造父变星（Cepheid variable stars）是变星中光度高，容易辨认，周期长而规则的一种。它的光变周期（即亮度变化一周的时间）大多在1～50天范围内，也有长达一二百天的，很容易测量。
只要用其他方法测量了较近造父变星的距离，就可以知道周光关系的参数。造父变星的周期与光度成正比，根据周期算出光度后，对比这一数值和我们观测到此星的视亮度，就可算出它的距离。因此只要能观测到星系或星团中的造父变星，就能利用周光关系测量星际和星系际的距离。造父变星是估算宇宙距离的准绳。
图9：造父变星示意图（图片来自网络）
1.历史
1912年，哈佛大学天文台的美国女天文学家亨丽爱塔·勒维特（聋哑人）在南半球天空的麦哲伦星云中找到了造父变星。
图10：亨丽爱塔·勒维特（图片来自网络）
1915年，美国天文学家哈罗·沙普利（Harlow Shapley，1885年11月2日－1972年10月20日）成功解决了造父变星零点标定的问题，并使用造父变星定出我们银河系的大小和形状，以及太阳在其间的位置。
图11：哈罗·沙普利（图片来自网络）
1924年，美国天文学家爱德文·鲍威尔·哈勃（Edwin Powell Hubble，1889年11月20日—1953年9月28日）利用仙女座大星云中的经典造父变星测定了它的距离，数据显示它不是银河系内的成员。这解决了岛宇宙辩论所涉及的宇宙和星系是否是同义字的问题，确定了银河系只是组成宇宙众多星系中的一个。
哈勃还是星系天文学的创始人和观测宇宙学的开拓者，被称为星系天文学之父。他在少年时代擅长运动，在运动比赛常常进前三甲，曾刷新跳高项目州际纪录。
图12：爱德文·鲍威尔·哈勃（图片来自网络）
2.河外星系距离
17世纪伽利略用望远镜研究银河系时，发现了它的真正性质，并确定这条带子是由大量恒星组成的。在天空中可以看到小而模糊的光点，这些被称为星云。
18世纪，人们推测银河系是一个由恒星组成的巨大系统，恒星被重力束缚在一起，但星云的性质仍然未知。它们可能是银河系内部的小气体云，也可能是外部的气体云。无法证明银河系是否构成了整个宇宙。
19世纪下半叶，人们注意到，在处女座中有一大群星云。后来人们发现，这些星云是银河系外的独立星系。
1925年，哈勃利用加州威尔逊山天文台新近建造的100英寸望远镜，研究了造父变星。在一篇论文中，他得出结论：一些星云位于银河系之外，它们本身就是巨大的星系。这揭示了一个比我们的银河系大得多的宇宙。
3.局限：在距离超过几百万光年时，望远镜难以分辨单个变星，造父周光关系测距法就失效了。
五．结语
从打弹弓的测距，地球半径，到地月距离，恒星距离，再到河外星系距离，人类看到了越来越远的世界。有朝一日，人类或许有机会飞到比我们今天所能看到更远的地方。虽然我们现在能做的还只是仰望，但我们的思想早已向着远方——留下一路繁星，照向茫茫天涯。
参考文献：
[1]： 埃拉托色尼测量地球周长的实验，李平仪、吴金叶、叶超，南京师范大学地理科学学院，地理教学 2015,(06),4-7。
[2] ：天体距离是如何测定的，邵发仙，西南大学地理科学学院，地理教学 2010,(20),58
[3] ：测量天体距离的4把尺，李国祥、余嵘华，邓铁如，合肥工业大学理学院。
[4] ：怎样测天体距离？王海兴。
[5] ：宇宙的大小，我们如何测量？晨风，上海科技报/2016年/7月/1日/第007版/科技博览
[6] ：图片来源：上述论文，百度百科。
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