xialigang的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/xialigang

博文

素数基本定理证明中有趣的3-4-1引理

已有 3033 次阅读 2020-10-16 17:57 |个人分类:FUN MATH|系统分类:科研笔记


素数基本定理是描述素数分布的一个非常重要的定理。它表明素数的密度大约是1/log(x),即不大于x内的素数个数大约为x/log(x)


Jacques Solomon Hadamard和Charles-Jean de la Vallée Poussin于1896年按照B. Riemann的思想首次证明。


简单地说,素数基本定理等价于黎曼zeta函数zeta(s)在实部为1的那条线上没有零点


最近我基本上刷完了一本解析数论的书(没有做习题,但是正文命题基本上全部推导过)。里面在素数基本定理的证明中用了一个有趣的引理,叫做“3-4-1”引理。它基于如下简单事实,

Screenshot from 2020-10-16 17-35-50.png

由此可以得到关于黎曼zeta函数的一个不等式。

Screenshot from 2020-10-16 17-36-42.png


我发现这个3-4-1引理可以推广一下

Screenshot from 2020-10-16 17-37-30.png

类似地,我们可以得到下面的不等式。

Screenshot from 2020-10-16 17-37-54.png

利用这个不等式,我们可以改进素数基本定理中的误差项,上面n的最佳取值是4或5(改进效果一样),不过改进能力有限,就不赘述了。



https://wap.sciencenet.cn/blog-3401446-1254616.html

上一篇:A representations of Euler\'s constant (欧拉常数)
下一篇:First observation of Mercury 第一次看到水星
收藏 IP: 183.93.174.*| 热度|

3 尤明庆 杨正瓴 李毅伟

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (1 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2024-3-29 13:36

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部