上班的路上忽然想到这个问题。

觉得这个问题看起来简单，实际上有很深的意义。

1.微分也好，偏微分也好，其实都是反映至少两种相关的数量的变化之间的相关关系。

我们先是假定一种数量能做均匀幅度的、微小的、连续的变化，与此同时，来看对应到另一个数量所产生的变化的规律是什么。如果说函数表示的是不同变量取值之间的关系，那么微分，表示的就是不同变量之间的微小变化值之间的关系。

如果我的这个理解是符合数学上微积分理论的思想原则的话，我或许就可以就此再深入挖掘一些有意思东西来。

1.1 首先，“微小的变化”就是一个有意思的概念，我们通常还有一种说法，就是“增量”，我想大概意思也差不多。就是看一个微小的增量或减量的输入，对输出会产生一个多大的增量或减量。

“增量式演进”其实是一种自然的现象，一个事物在某一个时刻的状态，必定是它所经历的所有状态变化的累积结果。也就是说，事物在一个状态基础上，产生一个新的变化，进入一个新的状态，就是得到了一个增量式的演进。比如，下一盘围棋，围棋的局面状态是每下一步就变化一点的。事物按增量方式进行演进的规律，就是用微分方程可以描述的了。所以说，微分的思想是符合自然演进的模式的。

1.2 其次，“均匀幅度的变化”也是很有意思的概念。被我们假设是做“均匀幅度的变化”的量，实际是我们用来认识事物所选择的参考量，就像我们用来量长度的尺子，我们很容易想到要设计为是“均匀幅度的变化”的，因为，这可以让我们产生“最简单的确定性变化”的感觉。如果另外一个量的增量变化和我们选取的参考量的均匀幅度变化挂上了勾，那么，我们就可以得知另一个量的变化的确定性。如果我们能选取稍微复杂一些的同样是确定性变化的参考量，它就不一定是做“均匀幅度变化”的量了，但它一定是可以“锚定”到另一个“均匀幅度变化”的量之上的。所以，“均匀幅度变化”是认识上的确定性的根本诉求的结果。

1.3 最有意思的是“连续的变化”的概念。

我总觉得，那怕是最严格的连续性的含义，也不一定非得用数学语言来描述才能被理解到位。对此，自然语言可能更有“恰到好处”的表达能力。只是有可能很高造诣数学家反而难以理解自然语言的表达而已。我一直有一种认为，我也不知道这种认为是否严格或是否我真的理解了这种认为。这种认为就是：函数在某点“可微”就说明函数在该点连续。我不太确定的是：如果函数在某一点连续，则函数就在该点“可微”是否同样成立。我暂且假定是双向成立的。

 

“连续”最基本的含义是“没有间隔”，就是“总存在满实的中间地带”，我觉得这是数学上的一种理想模型，实数代表了对这种模型的一维模型的抽象。在相对中观的尺度下，这种连续的模型确实也可以具体化表达现实世界的大多数实际的状况。

关键的问题是：我们只有假定存在连续的模型，才能假定存在“连续的变化”。也就是，对于我们选作参考的量，我们是假设可以做“微小的连续的变化”的。一旦我们确立了一个变化的微小步长，变化一下，这个量就从一个点“跳”到了下一个“点”，而下一次变化，一定可以就从下一个“点”开始到再跳到下一个“点”。相邻两次增量的变化的终点和起点是同一个点，这就满足了“连续变化的参考量”的需要。只要微小的变化步长可以任意的小，并且始终保持不变，那么，就能满足微分参考变量的需求了。显然，我们假定的参考变化是连续的线性的变化，也就是均匀递增的变化，就像我们通常假定的时间，是均匀地，1秒接1秒，或1x秒接1x秒均匀流逝的一样。

 

前面讨论的并不是函数连续的概念，而只是数量变化连续的概念。但数量连续是函数连续的前提：我们至少要认为作为参考数量的数量是连续的，才可能基于这个连续的参考数量的连续变化来检验另一个量的变化情况。假定我们的参考量是可以做任意小的增量的连续变化的，那么，对于被观测的量来说，可能的情况有：

1.不管参考量变化到哪个数值点，观测量都有数值和参考量对应。

2.不管参考量变化到哪个数值点，观测量在有些点没有数值和参考量对应。

这里，“有和参考值对应”的含义是：测量量有确定的关联数值，而“没有和参考值对应”的含义则是：对应的测量量的数值不存在，也就是，对应的测量量在参考量的该点是没有定义的。

如果出现2的情况，则表明，被测量本身就不是一个可以连续变化的数量。虽然表示被测量的数据类型是实数，是连续的，但被测量本身不能在参考量的连续变化中的某个点的位置，取到一个实数数值和参考量对应。这就能断定函数肯定是不连续的了。

 

显然，函数连续要以满足前面所列条件1为基础。这样，观测量就是参考量的函数了。在进一步研究函数的连续性之前，我觉得可以先研究一下“空间”，以及“函数”与“空间”的关系。

 

2.微分从“空间”的角度看，是怎么样的？

微分是用一个参考变量的均匀、微小、连续的变化来刻画另一个被观测变量的连续变化。那么，微分至少和2个变量相关。

从纯数学的角度来说：一个独立的变量代表一个一维的数量空间（直线）。2个独立的变量则代表一个二维的数量空间（平面）。由于函数是关于2个变量的取值的关系，所以，一个一元函数，实际上就是一个二维数量平面上的一条曲线，是这条曲线，约束了自变量和参变量的关系。对函数的微分表达方式，只是换成了另外一种“增量”方式的表达。即：一个确定的函数，除了可以“从参变量值得到自变量”的值来表达，也可以用“在某点处，参变量变化多少会引起自变量变化多少”来表达。在“空间上”则可以理解为是某个空间运动，在参考方向上做微小的运动的同时，对应到其垂直方向会做多大“距离”的运动。表现在函数曲线上，一次参变量微增量的变化，就是函数从一个点出发，跳变到“邻近”的另一个点上了，两点的连线方向则非常接近曲线在该点的切线。在平面上连接两邻近点的直线段，接近和曲线是“重合”的。

 

现在，我就能够理解为什么一个N元函数可以看成是一个N+1维空间中的“一条曲线”了。其实，N元函数描述的是N个变元与函数值之间的相互约束关系。在N+1维空间中，实际就意味着对一个运动轨迹的约束。如果去掉函数的约束，当然就恢复了整个“相空间”的自由了。

 

从“相空间”的角度来说，微分的本质，实际上只是从数量的“数值变化”的角度来描述空间中存在的约束关系而已。函数则是从数量的“数值本身”的角度来描述空间中存在的约束关系。如果“约束关系”是客观的事实，微分方法最终还是要实现函数方法所表达的一致的约束关系。只是方法所处的某种“层次”不一样而已。这里划分“层次”的角度，实际就是“变化的阶数”。0阶的变化，就是不考虑数值变化，得到的就是函数方法；1阶的变化，就是考虑数值的变化量的关系，得到的就是微分的方法。2阶的变化，就是考虑数值变化量的变化量的关系，得到的就是所谓的“变分的方法”，对吧？

 

如果我们知道变化量的变化量之间的关系，又知道变化量变化的初始变化量的状态，我们当然可以通过累积，得出变化量关系来。