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再次理解连续——计算共形几何学习笔记1

已有 1140 次阅读 2020-6-14 12:05 |个人分类:虚构开放世界|系统分类:论文交流| 连续, 空间, 维度

最近买到博友顾险峰的《计算共形几何》一书。老顾谈几何是我跟随了几年的公众号。

也是由于我对图形学的高度兴趣,自然会走到这条路上来。


在学习的过程中,留下一些概念疏导的笔记,尽量用大白话来表达对一些数学概念的理解。肯定会很难,也肯定会有些不准确,只是为了帮助自己学习和记忆。发布出来希望得到真正的数学行家的指导和更正,如果能不把其他初学者带偏,就算万幸了。


先从“连续”的概念谈起。

假设有一根橡皮筋,很特殊,总能拉长,总不会断。简单理解这就叫“连续”。

也可以理解电脑上画条直线,对这条直线总可以进行每一段的“无级放大”操作,放大了还是直线段,对直线段总可以放大。这就是数学上说“连续”的基本意思。


这个理解虽然简单,但应该是符合数学概念的实质的,所以,用普通思维深入分析这个例子,也能逐步准确理解“连续”的全部含义。


一根橡皮筋:对应的是一个一维的空间的概念,所以,空间的概念也就得到了对应的理解。

类推,一块橡皮膜,就是二维的空间了,于是,“维度”的概念也找到了对应。


所以,“连续”这个词,是用来描述“空间”这种东西的特征的。

也就是说,“某个空间有一个特征叫做'具有连续性'",这句话对应"某根橡皮筋具有“总可以拉长”的特性”的抽象本质。


但是,还没完。

一根总可以拉长的橡皮筋,还必须满足另外一个条件,才能叫“连续”。

现在想象橡皮筋的横截面是圆形的,然后,不管橡皮筋拉的多细,它的横截面总是圆形的。这个想象只是为了能进一步想象,没有特殊含义。


进一步想象,橡皮筋上总能套上一段管子,管子当然也是圆截面的。特殊的是,这根管子总能无限接近地套在橡皮筋上面,而又不接触橡皮筋。


再想象,这段管子足够短,不管橡皮筋如何拉长,甚至被拉弯,这段管子依然可以套在橡皮筋上,顺着橡皮筋前后方向来回移动,而保持和橡皮筋不接触。


想到这个,就够了。我认为:数学上讲的连续,不管用什么与语言,什么符号,什么公式来说,说的意思都不外乎是这个意思了:

“一根总可以无限拉长的橡皮筋上套着的一根极短的细管,总可以来回在橡皮筋上移动,而不会碰到橡皮筋”就表示了一个“一维的连续空间”。


到此,连续,空间和维度的概念事实,就可以被简单直接理解了。说白了,数学家发明空间,连续和维度这些概念,也不外乎是为了能够说明白类似这根橡皮筋的事的。所以,我们能说明白橡皮筋的事,也就能明白数学了。数学,只是用了一套专门的符号来说同样的事的。



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