向量的四则运算

许秋雨，2021.2.5

实数是实实在在的数，可以对应长度和时间等，这时每个实数都有实际意义。把所有的实数放在一起组成一个数域，即实数域。所有的实数可以做四则运算，任何两个实数相加和相乘都可交换，即对两个数哪个在前哪个在后是沒有关系。这就为解实际问题中的线性方程组提供了方便。

解线性方程组应该是在所有科技领域中最有用的数学，是真正数学在应用中的着陆点。它又叫线性代数，在很大意义上又同等于矩阵理论。讲到矩阵理论，就有了向量的概念。一个向量有多个分量，如果每个分量都是实数，就叫实向量。人们也想对向量做运算，其中加减不是问题，单个数乘一个向量也不是问题，这就是线性空间的概念。

对实向量的运算，一个非常自然的问题是，能和实数一样做四则运算，即加减乘除，且其加法和乘法与两个向量的次序无关么？向量间的加减乘运算容易理解，但两个向量怎么做除法呢？数学家发现，如果实向量的维数是二，即只有两个分量，实向量之间有上面说的四则运算，只需引进一个虚数单位元 i。

对一个两维实向量［x，y］，令z＝x＋iy即可，这就是复数的概念。两个两维实向量等价于两个复数，这样，它们间的四则运算就同等于复数间的四则运算了。因为所有复数组成复数域，两维实向量间的加法与乘法也与它们的次序无关。

既然两维实向量间可以和实数一样做四则运算，人们自然就会问，三维实向量，四维实向量，等等，也能像两维实向量一样可以做四则运算么？这个问题涉及到数学的最本质的问题之一，即数域的扩张。遗憾的是，数学家说了，除了两维实向量外，其它任何高于二维的实向量间不存在像实数间的四则运算。

高维实向量间尽管不存在像实数一样的四则运算，四维和八维实向量存在四则运算，即可以做加减乘除，但是两个向量的乘法与它们的次序有关，即不可交换。其实所有四维实向量组成四元素体，所有八维实向量组成八元素体。注意，它们只是体，不是域，即不可交换。大家也许都知道，不可交换在研究和应用中会带来无穷的不方便。

既然高于两维的实向量间不能像实数一样做四则运算了，即不是域了，哪有没有其它形式的向量使得它们之间有像实数一样的四则运算呢？答案是肯定的，有！

如果向量中的每个分量只取有限个元素，这时向量间就存在像实数域一样的四则运算了，即成域了。这就是有限域的概念，又叫咖罗瓦域。一个最简单的例子就是二元向量，其每个分量只是0或1。这时也类似于两维实向量时的 i，需引进一个本元 （生成元）α，而把一个向量对应到一个 α 的固定阶的多项式，其系数正是向量的所有分量。这时向量间的运算就等于多项式间的运算了。请注意，在上面提到的复数中，x＋iy正是 i 的一阶多项式。

多项式间的加减乘法容易理解，但怎么做除法呢？这正是为啥要求向量的每个分量只是有限个元素的原因，这时，所有固定维数的向量也只有有限个，所有固定阶数的多项式只有有限个。这样，就可以做到每个多项式正好唯一地对应 α 的某个指数，且是一一对应。从而多项式之间或者向量之间相除就对应 α 的两个指数相减了。

现举个例子。如果向量的维数是 m，向量的分量都只取前面提到的二元域｛0，1｝。这时 α 是一个二元域上 m 阶本元多项式（既在二元域上不可分解，且使它可以整除 xⁿ+1 的最小正整数是n=2^m-1）的零点，也就是说 α 的 m 次方可以唯一地表示成一个低于 m 阶的二元域上的多项式，即多项式系数全是0或1。这样 m 维二元向量可一一对应于低于 m 阶二元域上的多项式，而非零多项式又可一一对对应于 α 的低于 2^m-1 次方的指数，零元对应到 α 的无穷阶。这时所有 m 维二元向量组成 2^m 个元素的有限域，是二元域｛0，1｝的扩域，它在纠错编中起着至关重要的作用，是著名的RS码和BCH码的基础。下面的图表中展示了一个当m=4时的具体例子。

请注意，如果向量里的分量有无穷个值的话，那么向量对应的多项式就有无穷个可能，这时就可能对应到无穷个 α 的指数，这时就可能没有了一一对应，运算就会出问题。但是，如果向量的分量全是有理数时，即有理数向量，尽管每个分量也是无限多，这时向量也能组成域，即代数数域，其构造方法属于代数数论范畴，与上面介绍的有限域扩张有一些区别。所以，有理数向量也能有通常的四则运算。

在一般情况下，如果向量里的所有分量的元素都属于某个域 E，如果该域能扩大成 m 阶的另一个域 F，那么这样 m 维的域E上的向量就组成一个域，即域 F，从而它们就有像实数一样的四则运算。

总之，二维实向量间或者有限元向量间或者有理数/代数数向量间可以做像实数一样的四则运算，从而可以解线性方程组，应用到各种实际问题中去了，而高于二维的实向量间没有。因为有理数能逼近实数，哪问题是能否用上面说的有理数向量间的四则运算来逼近实向量间的四则运算呢？