孙冰
刘瑞祥:简单完美的六和麻烦的七
2020-6-17 08:02
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  数字6很有意思,有很多简洁、优美的性质。比方很多人都知道,6是最小的完全数,也就是说,他的全部“真约数(小于它本身的约数)”的和就是它本身。而且6的真约数之和、之积相等。有人说这是因为上帝在6天之内造出了整个世界,而也有说,正是因为6是完全数,所以上帝创造世界需要六天。但是6的有意思的性质远不止这些。

  比如说,对于所谓“费马猜想(现在是费马定理了)”来说, n=6是第一个无需专门证明即可知x^n+y^n=z^n没有正整数解的情况。这是因为只要我们证明了n=3没有正整数解,那么n=6没有正整数解乃是顺理成章的事情。

  既然提到费马猜想,我们不妨把眼光转向几何:圆内接正六边形是最容易作的正多边形,即使只用圆规,六等分一个圆也不会增加难度。这当然是因为圆内接正六边形的边长等于圆半径。而正是因为这一点,我们可以从正六边形开始逐渐逼近圆,以此来计算圆周率。这就是刘徽《九章算术注》中的做法。而我们知道,在立体几何里,正六边形还和正方体有着密切的联系,比如可以从正方体里作一个正六边形的截面。另外,最简单的多面体——四面体——具有6条棱,最普通的几何体——长方体——具有6个面等等,都说明6这个数字的确很有意思。


  相比之下,7就麻烦多了。虽然历史上很多人对7情有独钟,比如音阶、星期乃至竹林七贤、过去七佛、七大奇迹、北斗七星、七巧板、哥尼斯堡七桥问题等等地方都会遇到 7,但除了后两者都和数学关系不大。在数学上,7可以算是最小的麻烦数。

  比如,一个数除以7,如果除不尽,那么它循环节居然达到了“惊人”的6位。我现在还记得当年刚学循环小数时计算1÷7的恐怖经历。这在除数小于13的数字里是最长的。根据抽屉原则我们知道,如果两个整数无法整除,那么分母为n时,循环节最多为(n-1)位,数字 7 完美地诠释了这一点。不过后来我从一本数学读物上学了一招,可以方便地计算 1-6 除以7的循环节:


  如图,里圈数字是被除数,外圈数字是按顺时针排列的循环节,对照如下:

2.jpg

  这些循环节有个共同的奇妙特性,那就是前三位和后三位加一起恰好是999,类似的性质也可以在其它循环小数中遇到。这是初等数论中很有代表性的结论。可以说,因为我们有7这个最小的“麻烦数”,数论上一些不容易察觉到的性质就有了一个很好的、随手可得的例证。这大概就是7给我们的正面意义吧。

  我们再来看看几何:正七边形还是第一个不能用尺规做出的正多边形。但是很多资料语焉不详,比如我手头一本书说的是“单用直尺和圆规几乎不可能做出”,难道说尺规联合使用就能做出了?也许那本书的作者确实是这么认为的,因为那本书上就记载着这样一个做法——取圆内接正三角形边长的一半为该圆内接正七边形的边长(见下左图):

3.jpg

  不过仔细算一下,或者在数学软件里度量一下就知道,这仅是近似做法。上右图是资料1中列举的另一种近似做法:可以记做“下七八,上四三,九七在中间;角下五,肩上九,一一点二左右手。”

  为什么不能用尺规画出正七边形?原因是这其中需要用到解三次方程。而折纸可以实现这一点,所以可以用折纸来制作真正的正七边形,但是也很麻烦,大家可以阅读资料2。不但如此,正七边形的“麻烦”还在于它的边长需要动用复数工具,虽然最后的结果肯定会消去虚数单位 ,但是表达式里却需要始终带着这么个东西。有兴趣者可以查阅下面的资料3。虽然我们不能用尺规做出正七边形,但是如果已经给我们一个正七边形,我们却有把握用尺规作出一个与之面积相等的正方形。这是因为正七边形可以分成十四个全等的直角三角形,从而拼成一个矩形,而做出与已知矩形面积相等的正方形,则是简单的。

  在立体几何里,可以证明,没有任何几何体恰好有七条棱。这个证明方法就留给读者了。这是7这个数字“麻烦”的又一例。

  欢迎大家提供更多的有关6和7的内容。


参考资料:

1.趣味几何,蒋声、陈瑞琛编,上海教育出版社 2001 年版;

2.用正方形纸片折出等边三角形 http://www.matrix67.com/blog/archives/4152;

3.正多边形与圆,中国数学会上海分会,中国数学研究委员会编,上海教育出版社 1959 年版。


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