孙冰
刘瑞祥:从勾股定理的证明看《几何原本》的两个特点
2019-3-15 12:12
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  勾股定理位于《几何原本》第一卷命题47。它和紧随其后的逆命题构成了第一卷最后两个命题。从这个命题的重要性上来说,说整个第一卷前面都是为这一命题作准备,或者更确切的说,第一卷在这里达到了高潮,并不为过。从这个著名定理的证明过程中,我们可以一窥《几何原本》的思想和风格。以下所说命题均指第一卷。

一、先保证“存在”,再究其“性质”

  尺规作图不仅是初等几何的重要组成部分,在《几何原本》里还是证明图形存在性的重要手段。

  在欧几里得的时代,可能人们已经认识到了单凭定义不足以说明对象的存在性,而必须加以论证。因此我们可以看出,在《几何原本》里,欲证一事,必先论其前提存在。即以勾股定理的证明来说,作者在此前先给出了垂线作法(命题11、12)、平行线作法(命题31)、正方形作法(命题46),然后才进行证明。而在作平行线之前,先给出了等角作法(命题23)及平行线判定定理(命题27)。由此我们可以看出,在《几何原本》里一般是先通过尺规作图证明图形的存在,再论证其性质。

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  《几何原本》里用“做出图形”来保证图形存在的方法,就是所谓的“构造法”。和这不同的是,现代数学里有时只要证明出某事物存在就满足了。比如众所周知的是,当年康托证明非代数数存在的时候,数学界无人知道哪个数是非代数数——尽管非代数数比代数数要多得多。这就是所谓“非构造性”的证明。这虽然也很重要,但究竟不如构造性证明来得真切。而尺规作图则是构造性证明的最有力工具。

  即使在现代,构造性证明仍然具有强大的生命力。比如数学家要否定一个猜想,最有力的方法就是提出反例。在实验科学里,科学家要证明某事物的存在,最好的方法是把它制造出来。比如当年居里夫妇提出放射性元素的时候,受到很多反对,等他们提炼出镭元素以后,即迅速获得认可。

二、“虽浅必书”的严谨治学态度

  《几何原本》能成为经典,应该和作者的严谨治学态度有很大关系。这一态度,我称之为“虽浅必书”。我们细看勾股定理的证明,会发现十分繁琐,远不及下面的图示来得显然。

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  但是,这样的证明真的能简化其论述过程吗?未必,让我们看看这里都需要证明什么吧。首先要证明的是,左图中的四个直角三角形均全等,右图亦然,然后要证明左右两图中的三角形也全等,再证明左右两图外围均为正方形且边长相等。以《几何原本》风格,必经如此论述,方可得出结论。

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  上图是见于《九章算术》刘徽注“出入相补”的证明过程。如以此为证明过程,则需证“朱出”与“朱入”、“青出”与“青入”分别相等。而“朱出”“朱入”是四边形,需要进一步切割,“青出”“青入”都是两部分。何况,还要证明右图实心部分确实是斜边上的正方形,要写的东西多着呢。

  要注意的是,即便是欧几里得努力追求“虽浅必书”,犹有未尽之处。以前图而言,还应证明AL与BC交点落在B、C两点之间,这需要证明“过三角形最大角顶点的垂线,垂足落在对边之内”,其依据是“三角形两内角的和小于二倍直角”(命题17)。但不论如何,《几何原本》的态度是够严谨的了。

  徐光启翻译《几何原本》时曾经说过,该书“似至晦实至明……似至繁实至简……似至难实至易……”,不知上述分析是否能帮助读者进一步理解这段话。

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