张洪
线段是由点构成的吗?
2021-7-28 21:46
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线段是由点构成的吗?

----论基础数学的基本矛盾


 (本文已发表在英国数学教育哲学杂志第37卷,非常遗憾本文很难在国内核心期刊发表)


张洪   周洪强

 

【摘要】连续离散问题是哲学的基本问题,也是数学的基本问题,人们长期以来对此问题没有清晰的认识,导致问题停滞不前,根本原因在于该问题的实质是一个有限无限问题;“线段由点构成”这一数学定义所依赖的哲学思想本质是实无限思想,几何的“点”在测度性质上等同于代数的“零”。本文讨论了诸多哲学家对此问题的看法,并在辩证无限观的基础上给出了既满足哲学界又满足数学界的两种解决方案,以此推进基础数学的健康发展。对连续的离散化处理,让连续变成离散,然而离散本身还是一个连续,从而实现连续、离散的辩证统一。

【关键词】连续;  点; 实无限; 辩证无限观; 芝诺悖论

 

 一、 连续性问题的背景


 

连续与离散之矛盾,正如有限无限之矛盾一样是数学的基本问题,也是哲学的基本问题。然而长期以来,人类对此问题并没有一个科学的认识,对连续性、芝诺悖论的理解也是含含糊糊、模棱两可。甚至在基础数学概念的定义中就包含了内在的不可调和的矛盾,比如说“线段由点构成”,“点”没有测度,而“线段”则存在测度;没有测度的点构成有测度的线段,这显然是矛盾的、荒谬的。正因为数学基础中存在着这个内在的矛盾,从而导致了数学中的很多奇怪、荒唐的结果,从而影响了数学确定性的形象。

然而,“连续”与“无限”是天然联系在一起的,正如亚里士多德(Aristotle)所说,“运动被认为是一种连续性的东西。而首先出现在连续性中的概念是‘无限’。(这就是为什么‘无限’这个术语常常出现在连续性的事物的定义中的缘故,例如说‘可以无限分割的就是连续性’)”(亚里士多德,p.68)。亚里士多德认为,所有的量,要么是离散的,要么是连续的。由于线段代表连续、有测度,而点代表离散、没有测度,因此连续与离散之矛盾就表现在“线段由点构成”这一数学定义上。由于数学的“点”没有测度,所以“线段由点构成”就表现为“有测度的线段是由没有测度的点构成的”,因此任何有限多的点都不可能构成线段,线段必须是由无限多的点构成(即一种实无限思想),因而连续离散问题就归结为一个有限无限问题。这就需要我们从辩证无限的角度去分析连续离散之矛盾,从而解决“线段由点构成”这一内在矛盾。

到底什么是连续性? 哲学界、数学界一直没有清晰的定义,一直像谜一样的存在。正如罗素(Russell)在《数学原理》中所说,“连续性概念通常都被哲学家认为好像不能够进行分析。关于它,哲学家们讲了很多,其中包括黑格尔的名言:一切离散的也都是连续的,反之亦然。这种说法乃黑格尔组合对立面的惯常做法的例证,但它却被所有后来的哲学家遵从。然而,至于连续性和离散性到底作何意谓,他们一直保持着慎重的沉默;唯有一点是明显的,即不论他们实际上对其作何所指,那些意义不可能与数学或与时空哲学有关。”(张留华,p.324)

关于“连续”,亚里士多德有过如此的分析和定义:“‘连续’是顺接的一种。当事物赖以相互接触的外限变为同一个,或者说(正如这个词本身所表明的)互相包容在一起时,我就说这些事物是连续的;如果外限是两个,连续是不可能存在的。作了上述这个定义之后可以明白,连续的事物是一些靠了相互接触而自然地形成一体的事物。”(亚里士多德,p.148)

如何建立“连续性”概念,始终是哲学家面临的难题。亚里士多德不承认连续直线(或线段)由无穷多点组成的说法,认为无穷多点不可能构成“连续性”。与此相反,其老师柏拉图(Plato)则认为线段上有无穷多个点。数学大师希尔伯特(Hilbert)认为数学上的连续性不能用于经验,也就是说数学的连续性不是来自经验,而庞加勒(Poincaré)则认为数学上的连续性来自于经验连续性。

 

二、 基础数学关于线段、点的定义

 

我们知道在《几何原本》中如此定义“点”、“线”、“面”:点不可以再分割成部分;线是无宽度的长度,线的两端是点;直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺;面只有长度和宽度,一个面的边是线,平面是直线自身的均匀分布。这些定义构成了数学科学的基础,并一直沿用至今。

现代数学讨论的连续性,是指康托定义的连续统,即实数集。这样康托将线段与实数集联系起来,把线段看成是一个实数集,使得每一个实数对应着线段上的一个“数学点”,但也因此同时代表了一段线(因为任何一段线段的长度都可以用实数去表示)。我们知道德国数学家戴德金(Richard Dedekind)利用他的分割理论(即戴德金原理)精确地给出了实数集R的定义,这一理论也同时确立了R的完备性(数学上把这种“完备性”称为连续性或致密性),然而其定义的基础仍然是“线段由点构成”这一基本假设,因此,戴德金原理仍然不能有效解释线段的连续性,用离散性的方法去解释线段的连续性可能只能徒劳无益。

数学来源于人类的实践,数学上的“点、线、面”都是客观事物的抽象物。“点”这个抽象物是去除了客观事物的形状、长度这些“质”之后的概念,其与客观事物、线段有着本质的区别,有着质的差异(这一点非常重要)。因此“点”来源于客观世界,又不同于客观世界。正如恩格斯所说,“这可以由下列事实来说明:在数学上dx是一个线量,而大家知道,这种没有厚和宽的线并不能独立地存在于自然界中,因此数学的抽象也只是在纯粹的数学中才是无条件地有效的。”(恩格斯,p.246)。 关于数学抽象物的本质,恩格斯认为我们只能从现实来说明,他指出:“他们忘记了:全部所谓纯数学都是研究抽象的,它的一切数量严格说来都是想象的数量,一切抽象在推到极端时都变成荒谬或走向自己的反面。数学的无限是从现实中借来的,尽管是不自觉地借来的,所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明,而只能从现实来说明。”(恩格斯,p.249)。数学中的“点、线、面”概念都是想象的,不能独立存在,数学的抽象只有在纯粹的抽象数学中才是有效的,数学的点、线、面也只有在纯粹的数学中才是有效的,没有测度的点在现实世界中是不存在的、更是无效的;抽象到极端就走向了自己的反面,例如数学的“点”是没有测度的,而“点”的原始抽象对象是有测度的,人们在“抽象活动”中忽略、淘汰了点的“测度”,从而让点走向了自己的反面,让点与线在质上不统一,因此导致“线”不能由“点”构成、“面”不能由“线”构成。所以,“点”是一个概念、一个抽象,不代表客观事物,不是现实的存在。同样而言,“线、面”也都不是现实的存在。

 

三、 历史上几大哲学大师的观点分析

 

1、亚里士多德的分析

在亚里士多德看来,线是不可还原的几何对象而非某种更基本对象(譬如标准点)的集合,任何连续事物都能分成永远可以再分的部分。因此他坚决反对线段由点构成,认为无穷多点不可能构成“连续性”。在无限问题上,亚里士多德是历史上第一个明确地只承认潜无限而反对实无限的学者。

亚里士多德从连续的角度解释线段不可能由点构成。他指出:“如果‘连续’、‘接触’、‘顺联’这些术语的定义如前所述的话------如果事物的外限是一个,它们就是连续的,事物的外限在一起的,就是互相接触的,如果没有同类事物夹在中间,就是顺联的------那么我们说,不可能有任何连续事物是由不可分的事物合成的,例如线不能由点合成,线是连续的而点是不可分的。”(亚里士多德,p.162)

亚里士多德认为“不能由无部分的事物合成连续体”(亚里士多德,p.171),即他认为线段不是由点组成、时间不是由瞬间构成。他详细地进行了如下说明:“再说,点和点,‘现在’和‘现在’也不能顺联起来,以致由点组成长度,由现在组成时间。因为,要没有同类事物夹在中间才能是顺联,而点与点之间总是夹有线段的,现在和现在之间总是夹有一段时间的。……。但是没有一个连续的事物能分解成无部分的事物。在点和点之间或现在和现在之间也不可能有任何不同类的事物。因为,如果有的话,那么显然,这个事物或者是不可分的或者分成永远可以再分的。而这后者是连续的。并且也很显然,任何连续事物都能分成永远可以再分的部分(因为,如果分成不可分的,那么就会有不可分的事物和不可分的事物相互接触了),因为连续诸事物的限相互接触成为一体。”(亚里士多德,p.163)

他认为时间是连续的,并认为时间不是由瞬间组成;时间无限可分,但不是由不可分的部分组成的。他在《物理学》中多处指出:“既然如此,那么必然时间也是连续的。我所说的连续的事物是指可以分成永远可再分的部分的事物;正是根据关于连续事物的这个定义才说时间必然是连续的。”(亚里士多德,p.167); “因为‘现在’是已过去时间的一个限(没有任何一段将来的时间在这边),又是将来时间的一个限(没有任何一段已过去的时间在这边)。因此我们曾经说过,它是过去时间和将来时间的共同的限。……作为两段时间的限的‘现在’必然是同一个。因为,假定是不同的两个,那么,因为不能由无部分的事物合成连续体,这两个‘现在’不能互相顺联。假定是分离的,那么在这两个‘现在’之间就会有一段时间,因为任何连续体都是这样的:在两个限之间有同名事物。”(亚里士多德,p.171);“因为时间不是由不可分的‘现在’组成的”(亚里士多德,p.191);“但是前面已经证明过了,这是不可能的事情,因为时间不是由‘现在’组成的,线也不是由点组成的,运动也不是由‘跳跃’组成的。”(亚里士多德,p.195)

亚里士多德认为点不属于线。他认为在线被分割成两部分时,要问分割点属于哪个部分是毫无意义的,因为点虽然在线上但他们并不属于线,线上的点不过是对于线的概念划分。“点”没有长度,所以不是线段的构成部分,而仅仅是一个位置的“标记物”而已。

亚里士多德在《物理学》中讨论并指出数学中的“点、线、面、体”是抽象物:“数学家虽然也讨论面、体、线、点,然而不是把它们作为自然物体的限,也不是作为这些自然物体显示出来的特性来讨论的。数学家是把它们从物体分离出来讨论的。因为在观念上它们是可以同物体的运动分开来的。而且这样做,不会有什么影响,也不会造成结论上的错误。” (亚里士多德,p.47)

2、康德的分析

康德(Kant)作为德国古典哲学的创始人,认为数学需要纯直观、认为数学命题是先天综合命题(即不以人的意志为转移,具有必然性、普遍性,因此“先天综合命题”实质是指规律、真理)。康德对连续性观念有着很大的影响,他继承了亚里士多德的观念,强调连续是无限不可分的,但是康德对“点”、“瞬间”提出了自己的理解,即“点”与“瞬间”仅仅是一种界限、边界或位置的表示,点不属于线段、瞬间不是时间;这实际上给出了一种解决“线段由点构成”这一问题的解决方案,即线段不是由点构成、时间不是由瞬间构成,线段和点一样是基本的数学抽象。康德的观点得到了其以后哲学家的普遍认同、接受,他的伟大还在于其提出了解决“线段由点构成”问题的一个很高明的解决方案,即,点是边界、位置的表示(数是对量的标记)。这是我将在后文提出的两种解决方案之一。

在《纯粹理性批判》中,他这样描述连续性:“量的这样一种属性,即据此它们身上的任何一个部分都不是可能最小的部分(任何部分都不是单纯的),就叫作量的连续性。空间和时间都是quanta continua,因为它们的任何一个部分都不可能没有将之包括进两个边界(两个点或两个瞬间)之间就被给予出来,因而以至于只有当这个部分本身又是一个空间或一个时间时才被给予出来。所以空间只是由诸空间构成的,时间只是由诸时间构成的。点和瞬间只是一些边界,即只不过是对它们进行限制的位置。”(康德,p.123)。 文中“quanta continua”是指连续的量。

3、黑格尔对连续、离散的分析

黑格尔(Hegel)认为连续、离散是辩证统一的,他从量是连续与离散的统一这一角度来讨论连续、离散问题,认为只有将连续与离散统一起来才能发现真理。因此,他也是历史上研究连续、离散最多的一位哲学家。他认为“点”具有无限小的测度(变量),即具有线段的质,否则“线段由点构成”将导致线段的规定性(质)不明。

什么是连续性? 他指出,“所以连续性就是单纯的、与自身同一的自身关系,这种关系不以界限和排除而中断,但是它并非直接的统一,而是自为之有的诸一的统一。那里还包含着彼此相外的多,但同时又是一个不曾区别的、不曾中断的东西。多在连续中建立起来,正如它是自在的那样;多个与那些为他物的东西都是一,每一个都与另一个相等,因此多就是单纯的、无区别的相等。连续就是互相外在的自身相等的这个环节,是有区别的诸一在与它们有区别的东西中的自身继续。”(黑格尔,1974,p.195);“假如不说‘连续物不是别的,正是不可分之物本身’,而说,连续物的大小规定性不是别的,正是不可分之物本身的大小规定性,那倒会是更正确,从而也会立刻更明白些。”(黑格尔,1974,p.335)。 什么是分离性?分离性就是量所包含的一个一个的一或单位而言。

他认为量是连续与离散的统一。他指出:“量是分立与连续两者的单纯统一,关于空间、时间、物质等无限可分性的争辩或二律背反都可以归到量的这种性质里去。”(黑格尔,1974,p.199)。  他认为量有两个环节:一个是连续的方面,一个是分离的方面;认为连续性与分离性是统一的。他在《小逻辑》中指出:“因此量便既是连续的,又是分离的。两个环节中的每一环节都包含另一环节于自身内,因此既没有只是连续的量,也没有只是分离的量” (黑格尔,1980,p.222);“但连续的量也同样是分离的,因为它只是多的连续;而分离的量也同样是连续的,因为它的连续性就是作为许多一的同一或统一的‘一’”(黑格尔,1980,p.221)

黑格尔批评将连续性与分离性割裂开来的思想。黑格尔说:“另一方面,假如一种形而上学要想使时间由时间点构成,一般空间、或首先是线由空间的点构成,面是由线构成,全部空间是由面构成,那么,数学是会抛弃这种形而上学的;数学不让这样不连续的诸一有效。纵然数学也这样规定例如一个面的大小,即这个大小被想像为无限多的线的总和,这种分立也只是当作暂时的表象,在线的无限多之中已经包含其分立之扬弃,因为这些线所要构成的空间毕竟是一个有限制的空间”(黑格尔,1974,p.197)。

黑格尔认为量的连续性、分离性不可割裂(量的辩证统一),他介绍了量在表现连续性、离散性上的统一性;点与线段保持质的统一,点应该具有线段的质,即有测度。他指出:“量包含连续性和分立性两个环节。它要在作为它的规定的这两个环节里建立起来。---它已经立刻是两者的直接统一,这就是说它首先只是在它的一种规定中,即连续性中建立起来,所以是连续的大小。  或者说连续性固然是量的环节之一,它却要有另一环节,即分立性,才会完成。但是量只有当它是有区别环节的统一之时,才是具体的统一。……连续性只有作为分立物的统一,才是联系的、结实的统一;这样建立起来,它就不再仅仅是环节,而是整个的量,即连续的大小。”(黑格尔,1974,p.210-211)即,量首先体现连续的大小。

他认为分立本身也是连续的,这种连续性体现在“单位”内在的质上。他说:“分立性与连续性一样,都是量的环节,但是本身又是整个的量,正因为它是在量中、在整体中的环节,所以作为有区别的环节,并不退出整体,不退出它与另一环节的统一。……分立的大小则是这种彼此外在的不连续或中断。……因为分立的大小是量,所以它的分立本身就是连续的。这种在分立物那里的连续性,就在于诸一是彼此相等的东西,或说有同一的单位。这样,分立的大小是多个的一作为相等物的彼此外在,不是一般的多个的一,而是被建立为一个单位的多”(黑格尔,1974,p.211)、“反过来,在分立的大小那里,也不可以忽视连续性;这个环节,如已经指出过的,是作为单位的一。”(黑格尔,1974,p.212)。这儿他解释了“单位”、“尺度”的概念。“点”是一个分立的大小,也应具有连续性,而且所有的点都有相同的连续性;从而,让点与线段保持质的统一。因此,点应该具有线段的质,即有测度。

他进一步强调只有将连续与离散统一起来才能发现真理。黑格尔在研究二律背反时,指出,“按照这种纯分立性看来,实体、物体、空间、时间等都已绝对分割;一是它们的根本。按照连续性说来,这个一只是扬弃了的;分割仍然有可分性,仍然是分割的可能性,作为可能性,就是没有真的达到原子那里。即使我们现在仍旧停留在前面所说的对立的规定里,原子这个环节也仍然潜藏在连续性本身之中,因为连续性绝对是分割的可能性,正如已完成的分割或说分立性那样,……。既然两个对立面每一个都在自身那里包含着另一个,没有这一方也就不可能设想另一方,那末,其结果就是:这些规定,单独看来都没有真理,唯有它们的统一才有真理,这是对它们的真正的、辩证的看法,也是它们的真正的结果。”(黑格尔,1974,p.208)。在这儿,黑格尔既强调了不可穷尽,又强调了只有统一起来才有真理。

黑格尔如何解决连续、离散之矛盾? 为了解决“线段由点构成”这一矛盾,黑格尔给出了他的解决方案,即“点”是一个“无限小”(变量)的线段,这样一来,“点”与“线段”就具有了质的统一性。他说:“但是既然点的总和不能给予线,线的总和不能给予面,那么,这就是点立刻已经被认为有线的性质,线也有面的性质了。但是那些有线的性质的东西还不就是线(假如它们被当作定量,那就会是线了),所以它们被想像为无限小。……;所以对于那些以点或线为其规定的原素,同时也就给予了(对以点为规定的原素)以线或(对以线为规定的原素)以面的性质,从而像是由细小的线的总和便成了一条线,由细小的面的总和便成了一个面。”(黑格尔,1974,p.329)

黑格尔反对线段由没有测度的点构成,因为这将导致“线”的规定性(即质)不明(即点有长度、线有宽度,这样才有质的统一性。) 他指出:“这类的责难和犹疑不安,其根源唯在所使用的观念不明确,以为线由无限数量的点构成,面由无限数量的线构成等等:这种观念使线或面的本质的大小规定性暗昧不明。”(黑格尔,1974,p.338);“为了避免从线的总和须得出面这样的困难,便立刻把线当作面,但同时却当作是无限细窄的面” (黑格尔,1974,p.332)

二律背反的根本原因在于坚持了实无限思想,将分立看成是绝对的分立,从而导致绝对的对立。他说:“这种二律背反完全在于分立和连续都同样必须坚持。片面坚持分立,就是以无限的或绝对的已分之物,从而是以一个不可分之物为根本;反之,片面坚持连续,则是以无限可分性为根本。”(黑格尔,1974,p.199)

4、休谟的分析

我们知道,休谟(Hume)是一位典型的潜无限论者,他认为运用归纳法的正当性永远不能从理性上证明。关于线段与点的关系,休谟认为点的测度不可能是零,但是他又坚持点是不可再分的,因此在“点”的问题上,他的思想仍是矛盾的。休谟是一个坚定的数学反实在论者,否定点是一个实在,所以这又决定了他是一个怀疑论者。在《人性论》中,他指出:“这个理论所以是荒谬的,乃是因为数学点是一个非实在物,因此它和其他的数学点结合起来绝不可能形成一个真实的存在。” (休谟,p.49);“几何学的对象,即几何学研究它们的比例和位置的那些面、线和点,只是心中的一些观念,不但从未存在于、并且也永远不可能存在于自然界中。”(休谟,p.52)

他认为点不能再分,反对无限可分说,即反对实无限思想,并认为实无限带来明显的矛盾,认为数学的定义并不精确。他说:“大家一致公认,心灵的能力是有限的,永远不能得到一个充分的和恰当的‘无限’概念;即使这一点不被大家承认,它从最平凡的观察和经验中也表现得足够明显的。”(休谟,p.35);“不论分裂多少次数,也都不能比想象所形成的最初观念使想象更为接近于最后的分裂。”(休谟,p.53);“这就清楚地证明了面、线和点的观念不容许再分的了,即面的观念在厚度上不能再分,线的观念在宽度和厚度上不能再分,点的观念在长度、宽度、厚度任何一方面都是不能再分的了。”(休谟,p.54);  “因为,任何数量观念既然都不是无限可分的,那么显然,要试图证明那个数量本身允许那样一种分割,并且借着在这方面和它直接相反的一些观念来证明这点,那便是所能想象到的最为显著的一种谬误了。这种谬误本身既是十分显著的,那么以它为基础的任何论证必然会带来一种新的谬误,并且含有一个明显的矛盾。”(休谟,p.63)。 他认为实无限不成立,认为数学的定义并不精确;他指出:“不过我还可以再进一步断言,这些证明没有一个具有充分的力量,足以建立像无限可分说的那样一个原则。这是因为对于这些微小的对象来说,这些证明不是恰当的证明,因为它们所依靠的观念并不精确,它们所依靠的原理也并不正确。” (休谟,p.54)。

他认为有限空间不可能含有无限的部分,即点是有测度的。他指出:“总而言之,我可以断言:【无数的部分】的观念和无限的广袤观念原是同一个的观念;任何有限的广袤都不能包含无数的部分,因此任何有限的广袤都不是无限可分的。”(休谟,p.39)。这实际上就是数学中的基本矛盾,线段由点构成的矛盾,这也就是为什么非零测度是如何从没有任何延展的元素集合获得的。因此休谟认为线段不是无限可分的,即反对实无限,认为线段不可能由无限的点构成,从而点是有测度(或长度)的,因而点还是可以再分,这与点不能再分、点没有任何延展度相矛盾。所以,关于线段由点构成这个问题,休谟还是没有说清楚。

5、维特根斯坦的分析

我们知道维特根斯坦(Wittgenstein)是一位典型的潜无限论者,他反对实无限,反对无限的客观存在,认为无限是一种以法则表示的无限可能性而不是现实性。在连续与离散问题上,他质疑“连续”是由“点”组成这一观念,反对线段由点构成,认为是以“不适当的图像”表述了“连续的直线”,即,“点”不能解释“连续”。在《数学基础研究》中他如此表述:“正如奥古斯丁所谓的时间之谜的情形一样,连续统之谜是由如下情形决定的:我们受到语言的诱导,将一幅不适当的图像应用于它之上。集合论保留了这幅有关不连续的东西的不适当的图像,但是在想着摆脱这些偏见时却将与这幅图像相矛盾的事项表述给了它。然而,实际上我们应当指出这点:这幅图像恰恰是不适当的,尽管我们不能将其加以拉伸,而又没有撕裂它,不过,我们可以使用一幅新的、某种意义上与那幅旧的图像相似的图像” (维特根斯坦,2013,p.213-214)

由于坚持潜无限观,所以维特根斯坦反对通过线段收缩产生一个点,认为点与长度无关,即点不可能构成线段。他解释道:“这不可能意味着它通过收缩产生了一个点” (维特根斯坦,2013,p.222);“如下做法是不够的:人们通过缩小一个点的停留地点的方式在越来越大的程度上决定它(人们声称事情是这样的);相反,人们必须将它构造出来。不断地掷骰子虽然不加限制地限制了这个点的可能的停留处,但是它并没有决定任何一个点。 这个点在每次投掷(选择)之后还是无限地不确定的。我相信,在此我们受到了我们的视觉空间中的诸对象的绝对的量的误导; 另一方面又受到了‘接近一个对象’这个表达式的歧义性的误导。针对视野中的一条线段人们可以说,它通过收缩总是更加接近于一个点;  也即,它变得与一个点更加相似了。与此相反,欧几里得线段通过收缩并没有变得与一个点更为相似,毋宁说,它与它总是同样地不相似,因为它的长度可以说与这个点没有任何关系。 ”(维特根斯坦,2013,p.221-222)

他认为无限是不能表示的,所以反对线段由点构成。在《哲学评论》中他阐述道:“真正无限的东西只能描述而不能表示。”(维特根斯坦,2003,p.196);“直线是一种规则,不是由任何东西组成的。”(维特根斯坦,2003,p.201);“这清楚地表明,无理数不是一个无限小数的延伸,而是一个规则”(维特根斯坦,2003,p.214);“π这个字母代表一个规则。” 、“实数就是:一个可以得出无限多位小数的算术规则。”(维特根斯坦,2003,p.219)

他和皮尔士一样都反对将连续统与集合划上等号。在《哲学评论》中他指出:“数学完全沾染上了集合论(Mengenlehre)表达方式的恶习。其中一个例子就是关于直线由点组成的说法。直线是一种规则,不是由任何东西组成的。作为视觉空间中的有色线条的直线可以由较短的有色线条组成(但肯定不是由点组成)。”(维特根斯坦,2003,p.201)

   

6、皮尔士的分析

美国伟大的逻辑学家皮尔士(Peirce)非常重视对连续性的理解,他把连续性看作是实在中不可或缺的成分,认为它对于哲学具有第一重要性。他明确反对康托的几何连续统由算术上的阿基米德点的集合构成的观点,认为任何离散量不论有多大都不能充分说明线的连续性,认为实数集R不能充分说明几何连续统,认为从哲学上把握连续性是很困难的。他实际上是继承了亚里士多德、黑格尔的观念。 皮尔士一生中花费大量精力用于研究连续性问题,他从先期赞赏康托的连续统观点,转变为后期对之深度怀疑,并提出了自己的解决方案。

他认为实数集不可能解释连续统的本性。在《皮尔士哲学的逻辑面向》中张留华描述道:“康托的定义‘有赖于度量考虑;然而连续系列与非连续系列之间区分显然是非度量的’。(CP6.121)直线的部分并非不可分的点,而是线段;任何线段的部分仍旧是线段,至少也可称为无穷短的线段。同时他认为,构成实线的那些点的数量必定远远大于任何康托所设想的集合,康托所定义的实数R不能充分说明几何连续统。由于线必定包含了所有可能的连续点,而实数集R只是对应于所代表的数量,因此它作为一种完成了的数量(as a completed multitude)不可能解释连续统的本性。”(张留华,p.334);“他相信,数目(numbers)本身不可能完全解释连续统,数目所表达不过是离散对象的序,而任何离散量不论有多大都不能充分说明线的连续性。”(张留华,p.335)

皮尔士试图用“无穷小的线段”来解释“线段由点构成”,即连续性的线是由无穷小部分组成的。这是皮尔士先生解决矛盾的一种有益探索。在《皮尔士哲学的逻辑面向》中张留华指出:“皮尔士在1893年的一篇标号为MS955的手稿中断言,‘在连续性区域如连续性的线上存在有无穷短的连续着的线条。事实上,整个线是由这样的无穷小分部构成的’。……总而言之,康托的连续统R不可能包括全部的点,真正的连续统既包含非连续性的有理数、无理数,又包含作为‘额外可能性’的无穷小量。”(张留华,p.337-338)

7、罗素与哥德尔的分析

我们知道罗素对数理逻辑科学作出了重大贡献,他前后期哲学思想变化较大,在其后期著作《我的哲学的发展》中他明确地指出:“我不再以为点、瞬和质点是世界原料部分”(罗素,1982a,p.99)。因此罗素认为“点”不是现实的,从而回归到亚里士多德的观念上去。关于实数的连续性与线段的连续性之间的关系,罗素并未完全肯定这两者的等同,在《数理逻辑导论》中他指出:“在实数间存在的这一种连续性与我们在一给定时间所见的那种连续性究竟有什么关系,这问题非常困难而且复杂,我们不主张这两种连续性简单地等同……”(罗素,1982b,p.112)。

著名的逻辑学家哥德尔(Kurt Gödel)对于实数与几何线的同构性也表示怀疑,认为几何线可能并不遵守戴德金分割定理。

 

四、 辩证无限观对这一问题的分析

 

1、问题分析

 关于点在数学上的定义,认为点没有测度而线段具有测度,但是另一方面,数学又规定了“线段由点构成”,从而导致数学内在的一个不可调和的矛盾。数学的“点”是一个绝对的已分之物(不可再分之物),线段由无限多的这样的点构成就是由“实无限”多的点构成,从而是一个“实无限性质”的定义。这种实无限思想必然导致线段、点之间缺乏质的统一性(实无限的本质是将无限过程与结果在质上进行割裂),导致点与线段内在的不统一,从而导致不可调和的矛盾,因而“线段由点构成”在哲学上是矛盾、荒谬的。

“点”作为纯粹的数学抽象物,它的长度(测度)为零,从而是一个“虚无”,是一个假想物。这种几何上的纯粹的“点”如同代数中的纯粹的零,是一个绝对的“虚无(空)”,它与“空间”、“连续性”没有内在的必然联系,没有任何质的统一性;因而再多的点也只能是构成一个虚无的点,也不可能构成“连续性”。 “线段”与“点”(或点集)是完全不同的两个概念,谁也代表不了谁。线段上可以有无数的“虚无”的点,但是这与线段又有什么关系呢?因此线段不是由“点”构成,面也不可能由直线构成、空间不可能由面构成。

但是,如果把“点”作为一个“不纯粹”的抽象物,如果它具有长度,代表了一个过程而不是一个“静止物”时,它是一个变量;可以被看作为一个不断缩小线段的极限过程,从而是一个具有“无限小”测度的线段,那么,“点”与“线段”将具有质的统一性,线段由点构成也就变得可以理解了。

质是事物内在的规定性,量是事物外在的规定性。辩证无限观(Zhang Hong, Zhuang Yan2019)认为,真无限是恶无限内在的质的联系与统一性,因此真无限代表、反映了恶无限的质;无限是质与量的统一,恶无限代表无限的量(运动),真无限代表无限的质(规律、共性或联系)。辩证无限观认为实无限将有限、无限割裂开,用静止而不是运动的观点看待事物,具有内在的不可调和的矛盾,是一种形而上学、唯心主义的无限观。线段作为一个数学抽象概念,其内在的质的规定性是连续性;而如果作为一个无限(由无限多的点构成),由于长度不是“点”内在的质,因此线段的“质”就无法在“点”的质上得到体现。因此要体现两者的质的统一性,必须是“点”也应具有测度。另一方面,只有“点”具有了测度,才能体现线段的连续性,体现线段可以分成永远可再分的部分,即分成有测度的“点”,而这是一个恶无限过程,不可穷尽的过程。因此,我们必须放弃“线段由点构成”这种存在内在矛盾的表述、定义,放弃这种实无限性质的定义。

2、解决方案

纵观上述各大哲学家、数学家对此问题的分析,有两种解决方案浮出水面。对于点、线段的关系,我们有两种可以接受的认识,这两种解释都能很好的解决连续、离散问题。

一种是,认为“线段由点构成”,但必须承认“点”具有一个“无限小”(变量)的测度,即点具有既是零又不是零的测度,“点”本质上仍然是一个线段。这种解决方案的依据是确认“点”与“线段”具有质的统一性。因此,“点”仍然是一个无限过程而不是终点,即此点不是数学中的那个测度纯粹为零的“点”。这样,“线段由点构成”就变成一个无限过程,一个不可终结的无限过程。这符合辩证无限观的认识,并且不存在内在矛盾。黑格尔、皮尔士先生提出了这样的解决方案。

这种解决方案表明,有测度的点,其测度(量)是有与无的统一,是一个变化的无限小量,是一个变量。相对宏观上,单点的测度表现为零,而相对微观上,单点的测度不是零,而是一个无限小量(变量),体现一个无限过程。因此,无限多个这样的点,在宏观上,其测度可能是零,也可能不是零,这需要这个“无限”与线段在内在质上的明确关系。

另一种认识,否认线段由点构成,即线段不是由点构成,线段本身是一个具有测度的基本数学抽象对象(即将连续作为一个基本的抽象对象),线段与“点”无关,与无限、无限过程无关;点是一个与线段无关的另一个数学抽象对象,点不属于线段,点是我们强加给线段的,点仅仅是测度大小、位置的描述工具或标志物。从这点看,以“有限长线段”的可完成性,来代替“无限点”的遍历性是没有逻辑、哲学依据的。康德先生提出过类似的解决方案。这种否认线段由点构成的哲学思想体现在亚里士多德、康德、维特根斯坦等几位大师的思想中。这种观念延伸到对“数”的理解上,就是认为实数集是一个标记集,数是对量的标记,数与数轴上的线段一一对应。正如王浩先生所说,“长度和体积的测量是算术和几何的结合,应用各种单位以计算一个数。正像方程的解那样,这是产生分数和无理数的一种自然方法。要求绝对精确的,更确切地说可以无限地改进的测量就产生了‘实数’这一概念。”。

3、数本身不能反映连续性

现代数学将实数集等同于连续统(线段),使每一个实数对应着一个“数学点”,用实数的连续性来反映线段的连续性。然而数本身与“点”一样并不能代表、反映连续性,数的本质是代表分立。

在黑格尔看来,数本身不能解释连续性,数的本质体现分立;黑格尔认为量包含连续性与分立性两个环节,连续性、分立性通过“数量”而得到统一,即连续性、离散性通过“数量”实现辩证统一。“量”本质起源于丈量,天然是对“长度”的计算,但不是“连续性”本身。数是量的体现,所以叫做数量;黑格尔认为“数是量的绝对规定性”(黑格尔,1974,p.226),恩格斯认为“数是我们所知道的最纯粹的量的规定”(恩格斯,p.236)。因此,数既可表示离散的量,如个数、计数,也可表示连续的量,如代表单位、尺度(长度)。而当数代表连续的量时,其基础是单位尺度(是一个连续),数是“连续统”的丈量,因此数通过“单位”将“连续性”隐藏起来,将连续性对象离散化,所以数本身不能解释连续性,数量的本质是体现分立。黑格尔强调了连续性、分立性(离散性)的统一,他指出:“反过来,在分立的大小那里,也不可以忽视连续性;这个环节,如已经指出过的,是作为单位的一。”(黑格尔,1974,p.212)。即数的基础是单位、尺度,所以数的根本特征是度量;单位、尺度的本质是一个定量,是“具有特定存在或质的定量”(黑格尔,1980,p.234),是质与量的统一。黑格尔认为量的本质是分立,不直接体现连续性,他阐述道:“直接的量就是连续的大小。但是量本来不是直接的;直接性是一种规定性,量本身就是规定性的扬弃。所以量就是要在它的内在的规定性中建立起来,这种规定性就是一。量是分立的大小。”(黑格尔,1974,p.211)

黑格尔详细介绍了“数”的概念,指出数从分离的环节是数目、从连续的环节是单位。“数”体现“多”,既可表示连续的量,也可表示分立的量。“一”作为“单位”的体现,扬弃了连续性,即“一”不体现连续性而“单位”本身却体现连续性;数以“单位”(以一)为根本,数在“单位”那里具有连续性,深刻揭示了数通过“单位”将连续性隐藏起来。黑格尔指出:“首先,定量是具有规定性或一般界限的量,----它在具有完全的规定性时就是数”(黑格尔,1974,p.214)、在数里,定量达到它的发展和完善的规定性。数包含着‘一’,作为它的要素,因而就包含着两个质的环节在自身内:从它的分离的环节来看为数目,从它的连续的环节来看为单位。”(黑格尔,1980,p.223)

因此数将连续性隐藏起来,它是通过“单位”来体现连续性,数本身不能说明连续性。 黑格尔阐述道:“在这些规定中完全建立起来了的定量,就是数。这个完全建立起来了的东西就在作为多的界限的实有之中,因而也就是在多与单位的区别之中。因此,数好像是分立的大小,但数在单位那里也同样有连续性。所以数也是有了完全规定性的定量;因为在数中,界限就是被规定了的多,而多则以一,这个绝对被规定了的东西为根本。一在连续性中,仅仅是自在的,是被扬弃了的,而连续性被建立为单位,则只有不曾规定的形式。”(黑格尔,1974,p.215)

 

五、 对芝诺悖论的分析

 

1、关于二分法,认为运动不存在。其内容是:物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半,这个要求可以无限进行下去,所以,它永远到不了终点。

    辩证无限观的第一种解释(即点本质上是一个线段):由于“点”始终是一个线段,因此这个距离不是由无限个“点”构成,在有限的时间内我们可以越过有限长的距离或有限多个“点线段”。或者按照亚里士多德的观点,把时间与空间在结构上看成是完全一样的,那么,在有限的“时间点”(即一段时间)内越过有限的“空间点”(即一段距离),或者在无限(即潜无限)的时间点中越过无限(即潜无限)的空间点,是完全可能的。亚里士多德在《物理学》中阐述道,“例如,假使时间在两个方向的延伸上无限,量也就在两个方向的延伸上无限;如果时间在分起来上无限,量也就在分起来上无限;如果时间在延伸和分小这两个方面都无限,那么量也就在这两个方面都无限。”(亚里士多德,p.168),“因此,既不能在有限的时间里通过无限的量,也不能在无限的时间里通过有限的量;而是:时间无限,量也无限,量无限,时间也无限。”(亚里士多德,p.169)

    辩证无限观的第二种解释(即线段与点无关,点是一个数学点):既然线段不是由点构成,因此线段与“无限个点”就不存在内在的关联,所以,我们在有限的时间内越过一段距离就跟“无限或无限过程”毫无关系,正如我们一脚跨出一段距离一样,我们不能说我们跨越了一个无限。

2、关于飞矢不动,即飞着的箭是静止着的。

    辩证无限观的第一种解释(即点本质上是一个线段):点本质上是一个线段,所以,“现在”这一时刻本质上仍然是代表一段时间,即时间是由“现在”这一时间段组成的。所以,飞着的箭在任一时刻(即一段时间)仍然是飞着的。如果把时间看成是由“现在”这一没有时间长度的绝对时刻组成,即线段是由没有测度的点构成,那么我们必然会得到上述那一矛盾着的结论,因为运动在那儿消失了(实无限的本质是否定运动),所以飞着的箭是静止的。正如亚里士多德所言,“这个结论是因为把时间当作是由‘现在’合成的而引起的”(亚里士多德,p.192);他指出,“没有任何事物能在‘现在’里运动”(亚里士多德,p.172)、“运动事物的运动和静止事物的静止都必然是在一段的时间里。”(亚里士多德,p.173)。 时间通过运动来体现,只有我们感觉到运动变化,我们才会感觉到时间;运动必是在时间里的运动。

    辩证无限观的第二种解释(即线段与点无关,时间与时刻无关):即时间与“现在”点(时刻)无关,没有了“现在”这一时刻点,问题本身就不存在。

 

参考文献

1、 张留华,2012年,《皮尔士哲学的逻辑面向》,上海人民出版社。

2、 亚里士多德,2016年,《物理学》,张竹明 译,商务印书馆。

3、 康德,2017年,《纯粹理性批判》,邓晓芒 译,人民出版社。

4、 黑格尔,1974年,《逻辑学》(上卷),杨一之 译,商务印书馆。

5、 黑格尔,1980年,《小逻辑》,贺麟 译,商务印书馆。

6、 休谟,2015年,《人性论》,关文运 译,商务印书馆。

7、 维特根斯坦,2013年,《数学基础研究》, 韩林合 译, 商务印书馆。

8、 维特根斯坦,2003年,《哲学评论》(《维特根斯坦全集》第3卷),丁冬红等译, 河北教育出版社。

9、 罗素,1982a年,《我的哲学的发展》,温锡增 译, 商务印书馆。

10、      罗素,1982b年,《数理逻辑导论》,晏成书 译, 商务印书馆。

11、      恩格斯,1971年,《自然辩证法》,人民出版社。

12、              Zhang Hong, Zhuang Yan, 2019, PHILOSOPHICAL INFINITY AND MATHEMATICAL INFINITY,  Philosophy of Mathematics Education Journal, No.35

 

Is the Line Segment Composed of Dots?

------On the Basic Contradiction of Basic Mathematics

 

Zhang Hong       Zhou HongQiang

 

[Abstract] The Problem of Continuity and Discreteness is the basic problem of philosophy and mathematics. For a long time, there is no clear understanding of this problem, which leads to the stagnation of the problem, because the essence of the problem is a problem of finity and infinity. The essence of the philosophical thought that the mathematical definition of “line segment is composed of dots” is the idea of actual infinity, and geometric "dot" is equivalent to algebraic "zero" in terms of measure properties. This paper discusses the views of many philosophers on this problem, and on the basis of the view of dialectical infinity, gives two solutions that satisfy both philosophical and mathematical circles, so as to promote the healthy development of basic mathematics.  Discrete the continuity, let the continuity become discreteness, but the discreteness itself is still a continuity, so as to realize the dialectical unity of continuity and discreteness.

[Keywords] continuity, dot, actual infinity, the view of dialectical infinity, The Zeno Paradox

 


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