张洪
辩证无限观与第三次数学危机
2021-1-13 20:47
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第三次数学危机的根源与解决


    上述我们讨论了“实无限观”存在不可克服的内在矛盾,总是用有限性、机械性的“方法”去处理、对待一个个“无限性”的客体,从而带来了一个又一个更大、更坏的“矛盾”。 我们认为第三次数学危机其本质就是“实无限”------这种“穷尽了无限”( 穷尽了一个不可穷尽的东西)───-所导致的危机。  最大序数悖论、最大基数悖论、罗素悖论都集中体现了“实无限”观的内在矛盾。

    无限作为一种存在,不能用一种限制性的概念去定义它,如“固定的无限大”这一概念,无法描述真实的无限客体;一旦给了一个“界限”,这种无限就成为了一种有限。有限制的无限不是真的无限,而是一个有限。“实无限”是这样的一种有限制的无限,“完成的无限”是一个有限制的无限,如最大基数、最大序数、概括原则。

    我们知道第三次数学危机是因为集合论含有悖论而导致的。其中,罗素悖论是核心。后来数学家们给出了公理化的解决方案(如ZFC集合论),但只是在形式上解决了危机,有没有彻底解决危机不得而知,这是因为数学界没有找准问题的症结,没有认识到“实无限思想”是危机的罪魁祸首,是它导致了循环判断。(由于ZFC系统本身的无矛盾性至今没有被证明,所以至今不能保证在这个系统中今后不会出现悖论,虽然在ZFC系统中能够排除已经出现的那些集合论的悖论,并且ZFC系统应用到今天,尚未出现过其他矛盾。但是Poincaré指出:我们设置栅栏,把羊群围住,免受狼的侵袭,但是很可能在围栅栏时就已经有一条狼被围在其中了。 由于ZFC系统不能保证在这个系统中今后不会出现悖论,从这个意义上来说,第三次数学危机并没有彻底解决。)

    杜国平先生在《罗素悖论研究进展》(参见杜国平,2012年)一文中对罗素悖论的原因进行了系统分析,认为导致悖论的原因不在于逻辑系统,而可能是在概括原则或集合论的基本定义上。在文《集合论-泛逻辑悖论》(参见杜国平等,2009年)指出,通常的有穷值逻辑、可数无穷值逻辑和不可数无穷值逻辑系统中,概括原则都将导致悖论。

    然而问题的根源恰恰就发生在概括原则上,因为概括原则(作为构造集合的基本原则)所依赖的哲学思想就是实无限思想。对“所有对象”的判断就是对“完成的无限”的判断,从而是一种实无限思想 。

    什么是概括原则?概括原则(Principle of Comprehension)是古典集合论的基本原则,指古典集合论中用以构造集合的一个重要规定或公理,其内容为无条件承认任给一个性质P,人们就能把所有满足该性质P的对象,且仅由这些具有性质P的对象汇集在一起而构成一个集合。用符号来表示就是G={x|P(x)},其中“|”左边的x表示集合G的任一元素,而“|”右边的P(x)表示元素x具有性质P{ }表示把所有具有性质Px汇集在一起而构成一集合。因此,概括原则的另一表达式为,亦即凡是集A之元素必具有性质P,反之,凡具有性质P的对象必为集A之元素。所以,概括原则是一条集合存在性公理(在公理模式下)

    在概括原则之下,其判断对象域是没有任何限制的。正是这种无限制的“所有对象”(实无限)导致了悖论的出现。对这种“所有”有两种理解,一种是代表“已存在的”(实际上是一种潜无限),一种代表“已存在的”和“即将产生的”(这实际上是实无限)。显然,悖论的出现是由于后一种理解导致的。前一种理解,认为这个判断对象面向历史而不是面向未来,是一种潜无限,而后一种理解则是既面向历史又面向未来,这显然是一种实无限的判断。这涉及到确定一个判断对象的标准,是对存在的判断,还是对一个即将出现的“未来”的判断。

    按照人类对客观世界的认识规律、时间单向性、判断的方向性的事实,说明我们人类思维只能对确切存在的对象进行判断,这是知识层次性、历史发展规律、世界是具有层次性规律确定的。这种认识规律、时间的单向性、判断的方向性,就是一种潜无限思想。ZFC公理系统中“分离公理”的运用,本质就是将我们判断的对象限制在“已存在的”范围之内,即把集合的定义限制在由已知对象(已给集合)、已给性质共同确定的范围之内。例如,它不允许一切集合的集合存在,这正是潜无限的体现。因而,ZFC公理系统能够从根本上杜绝悖论的出现。可以说,ZFC公理集合论是一个潜无限性质的集合论,它弥补了素朴集合论的不足。

    反之,如果我们坚持后一种判断对象标准,即将“未来的”也列入我们判断的视野,这必然导致循环判断,即“现在”的判断是对“过去+未来”的判断,而“现在”判断的结果又必然属于“未来”这一范畴,从而导致循环判断、导致罗素悖论的出现。这既是一种实无限思想,又是一种违背时间单向性原则的做法,必然给我们的认识带来混乱。

 

    下面我们对最大序数悖论进行详细分析。

    最大序数悖论,又称布拉利·福尔蒂悖论(Burali-Forti's paradox)。它是集合论历史上的第一个悖论。设W为一切序数组成的集合,即W={12ω…}N={1,2,3…,n,…}是自然数集, N的序数是ω,ω大于任一自然数,并且ω不属于N----这一点非常重要 可以看出W按序数大小顺序成一良序集,按照良序集的定义,故W本身也对应着一个序数Ω,并且Ω是最大的序数,其大于W中的任一序数,但按照W的定义,我们知道Ω也出现在W中,从而将有Ω>Ω,而这是矛盾的。1897328日在意大利巴洛摩数学会上,布拉利·福尔蒂(C.Burali-Forti)宣读了一篇论文,提出了上述悖论,揭开了数学基础第三次危机的序幕。实际上,德国数学家康托 (Cantor)早在其两年前就发现了这个悖论,只是没有公开。

    我们知道序数定义的一般过程是一个潜无限过程,而且所有新的序数都不属于前列,如ω不属于N;然而人们想把这个定义序数的无限过程一劳永逸地完成、结束------这正是一种实无限思想,从而将所有的序数都定义出来,因而产生由所有序数构成的良序集,而这个集合也对应着一个序数,那么就带来一个疑问:这个序数是否属于这个序数集,从而导致了矛盾。由此可见,这个无限过程是不可能结束的。因为无限就是运动和变化,没有限制、没有终结,这正是潜无限(恶无限)思想。由于序数是不断生长的,即我们不可能定义所有的序数,所谓所有序数构成的集合就成为空中楼阁,因而是不可能存在的。

    同样而言,关于罗素悖论,应该说集合的构造必须符合“潜无限原则”,即概括原则必须遵循潜无限原则。构造是对存在的判断(即对历史的判断),是面向历史、而不是面向未来;坚持这一原则,则我们就可以清晰地解决罗素悖论问题。

罗素为了解决悖论问题,在文《以类型论为基础的数理逻辑》中对“所有”、“任何”概念的差异进行了详细讨论。其实,“所有”与“任何”的差别本质在于它们所属的“范畴”不同,不在同一个层次上,特别当“所有”是一个无限对象时。“所有”是一个集合整体概念,而“任何”是一个元素个体概念;整体不同于个体,整体强调个体相互之间的关系,具有个体所不具有的新的性质;正因为强调所有个体之间的关系,所以整体不同于具体单个个体。所以,在对涉及“个体相互之间的关系”这一整体的性质进行判断时(而不是对单一个体自身的性质进行判断),就会出现差异或矛盾。所以罗素认为,“所有和任何之间的差别在演绎推理中必不可少”(P87,《逻辑与知识》)。“所有”和“任何”的区别就是“整体”与“个体”的区别,正如同维特根斯坦所认为的无限与有限的区别,他认为有限、无限不是同一范畴内的东西。罗素的类型理论不仅对逻辑学而且对整个认识论都产生了深远的影响,罗素悖论也进一步揭示了整体与个体在本质上的不同。

    关于实无限思想的内在矛盾,哥德尔不完备性定理自身就是一个完美的证据。哥德尔基于“实无限”的方法论,证明了任何一个形式系统(包含一阶谓词逻辑与初等数论),如果其是自洽的,则必存在一个命题,它在这个形式系统内既不能被证明为真,也不能被证明为假(用哥德尔自身的话讲,就是“不可能给出一个对于它本身的完全的认识论描述”)。这个定理的哲学意义就在于它彻底打碎了希尔伯特建立“具有实无限性质的数学大厦基础”的美梦。因此,哥德尔一生中最伟大的发现就是用实无限方法否定了实无限思想,从而彻底地否定了自己。

    我们知道,在有限无限问题上数学基础还存在着内在的不可调和的矛盾,如:线段是由点构成,而“点”没有测度,而“线段”则存在测度;没有测度的点构成有测度的线段,这显然是矛盾的、荒唐的。从某种程度上说,点是我们人类强加给线段的。正因为数学基础中存在着这个内在的矛盾,从而导致了数学中的很多奇怪、荒唐的结果,从而影响了数学确定性的形象。这个问题的根本还是在于对有限无限矛盾需要有一个辩证的认识。对于点、线段的关系,我们有两种可以接受的认识:一种是,认为“线段由点构成”,但必须承认点具有一个“无限小”(变量)的测度,即点具有既是零又不是零的测度;另一种认识是否认线段由点构成,即线段不是由点构成,线段本身是一个具有测度的基本数学抽象对象,点不属于线段,点是我们强加给线段的,点仅仅是测度、位置的描述工具。这两种解释都能很好的解决连续、离散问题。

    因此,正确理解和把握“有限无限矛盾”、坚持对无限的辩证认识,是我们数学界、哲学界彻底解决数学危机的本质所在,对于健全数学基础大厦也有着极大的指导意义。

 

    综上所评,我们对无限思想进行了全面的分析,认为无限过程可以完成的“实无限”观存在着不可克服的内在矛盾。在哲学、数学层面,黑格尔给出了符合辩证唯物主义思想的“真无限”概念(马克思、恩格斯进一步澄清和发展了这种思想),它集中体现了无限对象内在的本质和联系,这是实无限思想这种较低层次的、形而上学的、主观的唯心主义的无限观所无法相比的。我们相信,坚持辩证唯物主义无限观,一定会给基础数学的研究带来更加光明的未来。


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