[注：下文是群邮件的内容。]
《Galois theory》
H.E. p. 59 (S44)
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再逐段温习一遍 (之证明的第五段)。注：下文的黑体不代表向量，只是为了增加视觉效果。
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G H·Q
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r α^i
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注：主对角在 K-世界，副对角在 K'-世界。
---- 开始只有 K-世界，G(X) 从 F(X) “解冻” 出来。
---- 从 K 里拿出 k 开 p 次方得 r，将其添加到 K，就得到 K'-世界。
---- 于是 H(X) 从 G(X) 里 “解冻” 出来，商为 Q(X)...
---- 即 G(X) = H(X, r)·Q(X, r)，这就是 r-分解。
---- 而本原作用保持 r-分解，即 G(X) = H(X, α^i·r)·Q(X, α^i·r)，i = 0, 1, ..., p-1。见注1。
---- 把 G(X) 的 p 个写法做连乘，得 G(X)^p = h(X)q(X)。见注2。
---- 上式左右两边的系数都在 K-世界。
---- 此时 G(X) 不可约，G(X)^i 显然与之有公共根。
---- 由伽罗瓦的引理1，G(X)^p 可以被 G(X) 整除 p 次。
---- 从而得 1 = h(X)q(X)/G(X)^p。
---- 上式左端是 K 中的数，则右端分母上的 G(X)^p 必定会约分掉。
---- 不妨设 h(X) 约分掉 j 个，q(X) 约分掉 p-j 个。
---- 即 h(X) = C·G(X)^j，q(X) = 1/C· G(X)^(p-j)。
---- 对照橙色式子两边的阶数，得 p·deg H = j·deg G。
---- 或写成 p = (deg G/deg H) · j。见注3。
---- deg G/deg H 是群和子群的元素之比，记作 index。
---- 由于 p 是素数，则 index 只能为 p 或 1 (此时 j = 1 或 p)。
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注1：原作在此处有明显的笔误 (“for i = 1, 2, ... p” 应改为 “for i = 0, 1, 2, ..., p - 1”)。
注2：此式整个都在 K-世界中：第二段专门论证了 h(X) 的系数在 K 中；此处 q(X) 的系数也在 K 中，这可由 q(X) = G(X)/h(X) 直接得到。
注3：此式表明 deg G/deg H (即 index) 是个整数。
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又注：此段的关键技术已用先导线标出 (粗红体)。
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小结：证明的第五段温习完毕。
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