《Galois theory》

H.E. p. 55 (S42)

* * * ？？？

第三段

Another example of interest is an equation of the form x^p = k where the known quantities K include k and a primitive pth root of unity α (with p prime).

---- 另一个有用的例子是形如 x^p = k 的方程，其中已知量 K 包含 k 和一个本原 p次单位根 α (p是素数)。

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If a is any root of the equation x^p - k = 0 then the other roots are αa, α^2a, ..., α^(p-1)a.

---- 如果 a 是方程 x^p - k = 0 的任何根，则其它根是 αa, α^2a, ..., α^(p-1)a.

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If S is any substitution of the Galois group then S(a) = α^j·a for some j and all values of S are given by S(α^k·a) = α^kS(a) = α^(k+j)a (because S is an automorphism that leaves the elements of K fixed).

---- 如果 S 是伽罗瓦群的任何置换，则 S(a) = α^j·a 对应某个 j，而 S 的所有值由 S(α^k·a) = α^kS(a) = α^(k+j)a 给出 (因为 S 是自同构使得 K 中的元素不动)。

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评论：α^k·a 代表任何一个根，则 S(α^k·a) 给出了“通项公式”，这么个 “all values of S”。

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注：此处隐含关系式 α^p = 1，但没有明说 (如何证明?)。

---- 把 α·a 代入方程得 α^p·a^p = k，因 a^p = k，则 α^p = 1 (a^p 替换成 k 再约分)。

---- 实际上 “本原p次单位根” 已经提示 α^p = 1。

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Thus

            a        αa        α^2a  ...       α^(p-1)a

          αa     α^2a        α^3a  ...                  a

      α^2a     α^3a        α^4a  ...                αa

          ...         ...             ...  ...                   ...

α^(p-1)a           a             αa      ...  α^(p-2)a

is a presentation of a group containing the Galois group.

---- 于是，(略) 表述了一个群，包含了伽罗瓦群。

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评论：在理论上，伽罗瓦群是由 G(X) 的根标识的；但在实践中，只是拿出 包含 伽罗瓦群的表述。

疑问：此处为何不是 n! 个置换 ？

疑问：文中如何得知 “包含” ?

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Since this is a group with p elements, and since the number of elements in a subgroup must therefore divide p, the Galois group is either the entire group presented above or it is the group containing the identity alone.

---- 既然这个群有 p 个元素，并且子群中的元素个数因此必须整除 p，则伽罗瓦群要么是上面表述的整个群，要么只包括单位元。

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评论：此处体现出 p 取素数的效用。

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In the latter case, by Proposition 1, every element of K(a, b, c, ...) is in K and the equation already has p roots in K.

---- 对于后一情况，由命题1，K(a, b, c, ...) 中的每个元都在 K 中，并且方程已经有 p 个根在 K 中。

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A simple consequence of this observation is that if k does not have a pth root in K and if K contains a primitive pth root of unity then the polynomial x^p - k is irreducible over K (see Exercise 4).

---- 这一观察的一个简单后果是，如果 k 在 K 中没有p次根，并且如果 K 包含一个本原p次单位根，则多项式 x^p - k 在 K 之上不可约 (见练习 4)。

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评论：此段的例子不妨称作 “幂方程”。

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小结：幂方程的伽罗瓦群要么是循环群，要么是单位群。

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 符号大全、上下标.|| 常用：↑↓ π α ΓΔΛΘΩμφΣ∈ ∉ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ Ø ∀ ∃ ≤ ≥ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ≠ ≡ ⁻⁰ 1 2 3 ᵈ ⁺ ₊ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .