[注：下文是群邮件的内容，标题是抬头。]
Q(√2) 是怎样产生的？
* * *
刚想到一个主意：用 “方法” 套一下。两物并立曰“方”，去除不直曰“法”。有理数和无理数是没有交集的两组对象。不妨取有理数 q 和无理数 s，它们形成两物并立之势，此为 “方”。要继续往前走，就得有个“法” —— 把它们加起来：q + s。这有点像在两个点之间 “连线”，简单直接的相互作用。或曰：“法现于方”。
.
这样做确实有道理。对于多项式方程而言，系数限定在有理数集，根却可以在外部。这意味着出现了新元素(相对而言)。将现有的两种元素拎出来，方而法之是很自然的事情。（此处“方法”是动词，就像“分析”那样）。所谓哲学，大概是指若干固定的 “动作” 或 “规程”。
.
有理数的特点是关于四则运算封闭。或许伽罗瓦出于某种原因，需要或希望：q + s 也具备这种封闭性（待验算）。假定在他的上下文中，s 是固定的，q 是自由的。则：
(q1 + s) + (q2 + s) = (q1 + q2) + 2s
(q1 + s) - (q2 + s) = (q1 + q2)
(q1 + s) (q2 + s) = q1q2 + s^2 + (q1 + q2)s
(q1 + s)/(q2 + s) = (q1 + s)(q2 - s)/(q2^2 - s^2)
.
可以看到，四种运算结果(一般)都跑出了 q + s 的形式。前两个式子完全不符合 q + s 的形式。第三个式子，当 q1 = q2 = 1/2 且 s 是(非超越的)平方根时，符合 q + s 形式。
.
从形式上看，第三个算式的右端更具一般性：q + s ~> q + ps。从事后观点看，q + s 通过乘法达到了 “凸” 的形式：q + ps。此形式对其它三种运算也是 “凸” 的。此处 s 不能是任意的无理数(s^2 必须为有理数)。注：所谓 “凸” 是指关于(一组) “相互作用” 不改变其形式（即“封闭性”）。
.
按如上推演，取 s = √2 就得到了 Q(√2)。整个推演可概括为：方 ~> 法 ~> 凸。这个过程有点像 “滑溜梯”。（“数感” 可能是指一些倾向，比如追求凸性）。这期间想到：多项式方程的根可能是凸性的！这似乎意味着多项式方程本身也是“凸”的！！
.
考察一下一元二次方程的求根公式（之一）：x = -b/(2a) + √(b^ - 4ac) /(2a)。令 p = 1/(2a)，b = -q/p，则 x = q + p√g，其中 g = q^2/p^2 - 2c/p。单从形式上看，根已经具有了“凸”性。这里想到一个问题：对于全部可能的有理系数(a不为零)，根集本身是否构成一个域？如果不是，包含根集的最小域是怎样的？
转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自李毅伟科学网博客。
链接地址：https://wap.sciencenet.cn/blog-315774-1241626.html?mobile=1
收藏
