[按：下文是群邮件的内容，标题引自内文。]
起床之际灵光一闪...
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从韦达定理来看，交换两个根的位置不会影响到系数。可是这对所有的情况都一样。如何从 “一样” 中发掘出 “不一样”？很可能，这才是伽罗瓦的灵魂之问。
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考察 x^ - 2 = 0。设 r1 和 r2 是它的两个根。于是 (x - r1)(x - r2) = 0。展开得：x^2 -(r1+r2)x + r1r2 =0。于是有：
r1 + r2 = 0
r1 · r2 = -2
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上面的两个式子中出现了将两个根求和与求积的操作。本来，置换在上面的算式中体现为交换律，可是明显地引入置换(记作 f)，而不是依赖于交换律会怎样呢？确实，从函数的观点看，交换律并不自然！甚至有点无厘头呢！！（看出这一点我很高兴）
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如果把置换看作函数 f，它应该是：
f(r1) = r2
f(r2) = r1
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把这个观点代入上面的式子，有：
f(r1 + r2) = f(0)
f(r1 · r2) = f(-2)
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为了实施置换的操作，要求：
f(r1 + r2) = f(r1) + f(r2)
f(r1 · r2) = f(r1) · f(r2)
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由此看出，自同构起源于置换的函数观点。可以想见，早先人们做置换的时候隐含地假定了上述要求（事实上并非所有的置换都满足上述要求。这一点看起来有点怪，但确实是这样）。我感到 “自同构” 这个术语不是出自伽罗瓦本人。甚至同构的一般概念可能也是后来产生的，也许就是源于伽罗瓦的上述要求（换句话说，可能是先有了这个自同构的实例，后来才有了一般的同构概念，然后才 “编” 出了 “自同构” 这个术语）。我主张把 f 称作伽罗瓦置换，而不采用 “自同构” 这个别扭的说法（宽泛且不准确）。伽罗瓦不大可能有 “同构” 的概念，尽管他提出了那两个式子。（这一段的推测性判断留待日后考察）。
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进一步，为了符合韦达定理，要求：
f(0) = 0
f(-2) = -2
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上式中的 0 和 -2 是多项式的系数，而伽罗瓦考察的问题是有理系数的。这意味着 f 不影响任何有理数。这里涉及到一个朴素的手法：从个体推及到全体。又及，原本的置换操作有一个值得注意的地方：除了涉及置换的若干对象以外，其余的对象不受影响*。f 的性质跟这个有点相像（从而容易接受）。这样就做好了一定的准备。
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现在可以实施伽罗瓦置换了：
0 = f(0) = f(r1 + r2) = f(r1) + f(r2) = r2 + r1
-2 = f(-2) = f(r1· r2) = f(r1) · f(r2) = r2 · r1
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星号处的补充解释：直觉上，置换是一种手动操作，有相当的 “非初等性”。这就好比取绝对值的操作，尽管常见但超出了 “初等” 的范畴。引入函数的观点，至少使得 “置换” 有了某种 “正规” 身份。
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回到开头的例子：x^2 - 2 = 0。这是产生第一个无理数根号2的源头，而从它恰好可以自然地引出伽罗瓦置换（结合韦达定理）。这似乎体现了某种 “根性”。对比系数和根，就有机会意识到：根可以跑出系数所在的范围。换句话说，方程蕴含扩大数的范围的机制。看到 √2 容易想到整个无理数集。可是，伽罗瓦是如何发现 Q(√2 ) 的呢？
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现在转而考察另一个例子：x^3 - x^2 - 2x + 2 = 0。它有三个根：-√2，1，√2。根的所有可能的置换为：
f0: -√2 <~> -√2, 1 <~> 1, √2 <~> √2
f1: -√2 <~> 1
f2: -√2 <~> √2
f3: 1 <~> √2
f4: -√2 ~> 1, 1 ~> √2, √2 ~> -√2
f5: √2 ~>1, 1 ~> -√2, -√2 ~> √2
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就以上6种置换验证是否为伽罗瓦置换：
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f0(-√2 + (-√2)) = f0(-2√2)
f0(-√2) + f0(-√2) = -√2 + (-√2) = -2√2
对比上两式右端... 严格来讲，f0(-2√2) 并没有定义。但从含义上来讲，f0 意味着 “原地不动”，从而 f0(-2√2) = -2√2。于是上面两式的左端相等。
f0(-√2·(-√2)) = f0(2)
f0(-√2)·f0(-√2) = (-√2)·(-√2) = 2
按照 f0 的含义，可以认为 f0(2) = 2。于是上面两式的左端相等。
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注：对于另两个根也可以类似验证。无论如何，此处 f0 的定义域有所拓展。
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f1(-√2 + 1) = ?
f1(-√2) + f1(1) = 1 + (-√2) = 1 - √2
对比上两个式子... f1(-√2 + 1) 是没有定义的。假定没有定义时看作 “原地不动”，则上面两式相等。
f1((-√2)·1) = f1(-√2) = 1
f1(-√2)·f1(1) = 1 · (-√2) = -√2
对比上两个式子...不相等。
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注：由上，f1 不符合伽罗瓦置换的条件。这意味着从 “一样” 中发掘出了 “不一样”。换句话说，伽罗瓦置换 (或者说 “自同构”)，从本质上来讲，是引入了一种法则，它起到某种 “筛子” 的作用（从事后的角度看，这个法则帮助筛选出了根式可解的条件）。这里的启发是：为了对事物进行区分，必须引入某种法则；表面上无法区分的事物，在适当的法则下有可能获得区分。
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注：对于候选的伽罗瓦置换(比如这里的 f1)，似乎意味着：除了有定义的以外，其余的都原地不动。这样就产生一个疑问：“其余” 究竟指哪些？这个疑问产生了划出一个范围的需求... 从事后的观点看，此处是在 Q(√2) 里谈论 “其余”。可是暂时看不出如何自然地引入Q(√2)...
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f2(-√2 + √2) = f2(0) = 0
f2(-√2) + f2(√2) = √2 + (-√2) = 0
观察：上两式左端相等。
f2(-√2 · √2) = f(-2) = -2
f2(-√2) · f2(√2) = √2 · (-√2) = -2
观察：上两式左端相等。
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注：上面对置换的值做验证，符合伽罗瓦置换。现在希望对 f2 验证 √2 和 1 的相互作用：
f2(√2 + 1) = ?
f2(√2) + f(1) = -√2 + 1
观察：按照 “无定义则不动” 的假定，上面第一个式子为 √2 + 1。于是上两式左端不相等。
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注：这里有个问题，即 f2(√2 + 1) 这个考虑本身是否 “合法”？我注意到，对于 f3 (即资料中的sigma2)，资料中考虑了 -√2 和 √2 的相互作用，这令人困惑（或许，只要相互作用的结果有定义就合法？）。总之，对于伽罗瓦置换 (或“自同构”) 的严格定义尚不清楚。
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根据资料，f4 和 f5 都不是伽罗瓦置换。从而从 f0 ~ f5 中分出了 f0 和 f2，它们是伽罗瓦置换。
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小结：初步探讨了伽罗瓦置换的可能起源，它作为 “筛子” 角色。两个疑问：Q(√2) 的起源（或伽罗瓦怎样发现了“域”）及伽罗瓦置换的严格定义及验证
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