[按：下文是发给自己的邮件, 标题是新拟的。]
介绍: 昨天没做出证明, 头脑中浮现出“北野趴”的姿势*。偷看了原作的证明, 现凭记忆推演一番, 权作温习。
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引理2: A 的自差连积Λ(i) 与 A 跟 Mj 的互差连积Λ(i,j) 相差一个倍数 αij:=|vij|^2.
---- 原作证明的窍门:
a). 固定 i = n, j = 1. 美其名曰: 不失一般性.
b). 利用引理1.
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证明的详细推演.
Step1.
---- 引理1的主角, 其特征值之一为零.
---- 这提示 A 该往引理1的主角上靠.
---- 为此, 考虑 A - λiE.
---- 不难看出, 该新矩阵的第 i 个特征值为零.
---- 事实上, 对 A 做对角化:
V*AV = D ==> V*(A - λiE)V = D - λiE := Di.
其中 Di 的第 i 个特征值为零. 此处取 i = n.
---- 另一方面, Mj 是 A 的子阵 ==>
运算 A - λiE 也会作用到Mj上, 即 Mj 变为 Mj - λiE.
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Step2.
---- 将 A - λiE 当作 新的 A; Mj - λiE 当作 新的 Mj.
---- 将“亏缺引理”(即 引理1), 用到新的 A 和 Mj:
即: |det(亏 vn)|^2·缺值 = 亏值. (&)
---- 不难看出, (新A的)缺值 = Π(λk(A)- λi(A)).
注: 右端出现的是原来的A.
---- 对照最终公式, 希望:
---- (新A的)亏值 = Π(λk(Mj) - λi(A)). (#1)
注: 右端出现的是原来的 Mj 和 A.
---- |det(亏 vn)|^2 = |vij|^2.(取 i =n, j = 1). (#2)
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Step3.
现在需要设计“亏”, 使 (#1) 和 (#2) 都成立.
---- 从 (#2) 的左端入手, 希望
---- det(亏 vn) = vij. (取 i =n, j = 1).
如何设计“亏”?
................................(0)
---- 原作技巧: 亏 = (E).
下方是 n-1阶的单位阵, 上方放一行零.
---- 这样, det(亏 vn) 按第一行展开.
即: det(亏 vn) = (-1)^{1+i}·vij.
---- 于是 |det(亏 vn)|^2 = |vij|^2 (i =n, j = 1).
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Step4.
须验证“亏”的设计符合 (#1).
---- 左端: (新A的)亏值 = det (亏* A 亏).
注: 右端的 A 是新的.
---- 将设计的 “亏” 代入:
..............................(0)
亏* A 亏 = (0 E) A (E)
.........................(* *) (0)
..............=(0 E) (* Mj) (E)
............................(0)
..............=(* Mj) (E)
..............= Mj
其中 Mj 是新的, j = 1.
---- 于是, 亏值 = det(亏* A 亏) = det(Mj) = Π(λk(Mj) - λi(A)).
注: det(Mj) 中的 Mj 是新的, 最右端的 Mj 和 A 是原来的. .
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附: det(Mj) 的详细计算.
---- 新的 Mj 就是 Mj - λiE.
---- 对原来的 Mj 对角化:
U*MjU = Nj. 其中 Nj 是对角阵 diag(...λk(Mj)...).
---- 于是, U*(Mj - λiE)U = diag(...λk(Mj) - λi...)
---- 两边取行列式: det(Mj) = Π(λk(Mj) - λi(A))
注: 如前, det(Mj) 中的 Mj 是新的.
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评论: 三个绿色的式子代入(&)式, 就变成了引理2的公式.
---- 原作把引理2 处理成了 引理1的特例.
---- 引理1或是此文的新结果(Cauchy-Binet type formula).
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小结: 详细推演了引理2的证明.
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