做不出证明是怎么回事？
2019-11-20 22:41
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[注:下文是发给自己的邮件, 标题和介绍是另拟的。]
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介绍: 接前, 本打算自行摸索出引理 2 的证明, 以失败告终.(一方面是明天上课要讲, 没时间了, 另一方面也失去了耐心。看了原作证明, 期间想到个可能的研究课题, 这里就不说了 ^_6)
Lemma 2. The norm squared of the elements of the eigenvectors are related to the eigenvalues and the submatrix eigenvalues, (2) |vi,j|^2 Π(λi(A) - λk(A)) = Π(λi(A) - λk(Mj)).
---- 该引理的焦点是末尾的公式.
---- 要点是, 指标 i 和 j 是固定的.
---- 自差连积: 固定 λi(A), A 的其余特征值与之做差, 再做连乘, 即Π(λi(A) - λk(A)).
---- 互差连积: 固定 λi(A), Mj 的所有特征值与之做差, 再做连乘, 即Π(λi(A) - λk(Mj)).
---- 公式(2) 是说, 两种连积只差一个因子(特征分量的平方).
---- 公式(2) 简记: αij·Λ(i) = Λ(i,j). (活动指标 k 被积掉了).
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证明的准备和摸索.
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1) 既然关乎特征值和特征向量, 有
---- A·vk = λk·vk.
---- V*AV = D.
---- Mj·uk = γk·uk.
---- U*MjU = N.
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2) 如何出现两种连积 ?
---- 固定 i, 构造矩阵 λiE, 做差:
---- V*AV - λiE = D - λiE.
==> V*AV - V*λiEV = D - λiE.
==> V*(A - λiE)V = D - λiE. (&)
令 Λi = (A - λiE). Di = D - λiE. 不难看出 ——
---- Λi 的一个特征值为零, 其余特征值为 λk - λi.
---- 整理 (&) 式, V*ΛiV = Di. (%)
---- 用排列矩阵将 (λi - λi ) = 0 特征值放到末尾.
---- 重排后V 和 Di 仍用 (%) 式中的记号.
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评论: Λi 是“缺”, 符合引理1的条件了. 显然——
---- Λi 的缺值就是“自差连积” Λ(i).
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接着往“互差连积”摸索.
---- 固定 i, 构造矩阵 λiE, 做差:
---- U*MjU - λiE = N - λiE.
==> U*MjU - U*λiEU = N - λiE.
==> U*(Mj - λiE)U = N - λiE. (#)
令 Wi = (Mj - λiE). Ni = N - λiE.
---- 整理 (#) 式, U*WiU = Ni. (@)
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评论: Ni 的行列式就是“互差连积” Λ(i,j).
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3) 如何将 两种连积 联系起来?
---- 之前出现了“缺”, 现在得有个“亏”.
---- 回顾: 亏补方·缺值 = 亏值.
---- |det(亏 qn)|^2·Λ(i) = det(亏*·Λi ·亏).
---- 另一方面, det(Ni) = Λ(i,j).
---- 预期 det(亏*·Λi ·亏) = det(Ni)...
---- 走不下去了...
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转到特征向量上.
---- V*ΛiV = Di.
---- V*AV = D.
注: 按更新的V, 则 D 的最后一个特征值为 λi.
---- Avi = λivi.
==> D(V*vi) = λi(V*vi).
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如何得到 vij ?
---- 这是从 vi 中取出第 j 个分量...
---- (0,...,1,...,0)
j
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续 3). 亏的构造.
---- 取 B1 = Ni.
(B1)
---- 令 B = (x ), 其中 x = 0.
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将 B 作为 亏, 作亏补: (亏 qn).
---- 假定 qn 的最后分量为 vij, 其余分量为零.
---- 则 det (亏 qn) = vij·Λ(i,j).
---- 于是, 亏补方 = vij^2·Λ(i,j)^2.
---- 再看 B*ΛiB = (V*B)*·Di·(V*B)
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Λi 的特征向量是什么样子?
...
评论: 上述摸索失败.(参原作证明)
小结: 保留失败的原样姿势.
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