亏缺引理和互差连积
2019-11-17 18:44
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[注: 下文是发给自己的邮件内容。标题和介绍是现拟的。]
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介绍: 近两天网上忽然出现了特征值热, 源于三位物理学家与一位数学大拿联署的文章: eigenvectors from eigenvalues （后又知悉此事闹了点小乌龙）. 周五下载文章的预印本后立刻着手读写. 当时没写完, 第二天周六又去参加党团活动, 刚才做了续写. 概括来说, 学习了文章的两个主要结果(不含证明和讨论), 对它们做了个“概念化”处理. 期间在学院群发了相关的帖子(稍后贴出).
Para.1
Let A be a n x n Hermitian matrix with eigenvalues λi(A) and normed eigenvectors vi.
---- 令 A 为 n 阶 厄米特矩阵, 带有特征值 λi(A) 及 normed 特征向量 vi.
---- A 的元素可以有复数吗 ?
---- 此处的 “normed” 是何意 ?
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The elements of each eigenvector are denoted vi,j.
---- 每个特征向量的元素记作 vi,j.
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Let Mj be the n - 1 x n - 1 submatrix of A that results from deleting the jth column and the jth row, with eigenvalues λk(Mj).
---- 令 Mj 为 n - 1 x n - 1 阶的 A 的子矩阵, 得自于删除第 j 列 和 第j 行, 其特征值为 λk(Mj).
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小结: 第一段说明了一组记号（共6个）.
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Para.2
First we prove a useful Cauchy-Binet type formula.
---- 首先, 证明一个有用的柯西-博奈型公式.
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Lemma 1. Let one eigenvalue of A be zero, WLOG we can set λn(A) = 0. Then, (1) Π_{i=1}^{n - 1}λi(A)|det (B vn)|^2 = det(B* A B), for any n x n - 1 matrix B.
---- 令 A 的一个特征值为零, 不失一般性, 设 λn(A) = 0. 则 (1) Π_{i=1}^{n - 1}λi(A)|det (B vn)|^2 = det(B* A B), 对任何 n x n - 1 阶矩阵 B.
---| 公式(1) 左端系连乘, 通项 λi(A)|det (B vn)|^2.
---- 涉及到 λi(A), 即 A 的特征值, 以及..
---- |det (B vn)|^2. 这里头有问题...
---- B 是 n 阶“亏列”矩阵,简称亏, vn 是 n 维向量.
---- 如何做乘法 B vn ?
---- 明白了！ (B vn) 表示用 vn 补充一列！
---- 不妨将 (B vn) 称作 “亏补”矩阵.
---- 这个构造本身就超乎想象！
---- 不妨将 |det (B vn)|^2 称作 “亏补方”.
---- 怎么会想到这个构造 ? 起源是什么 ?
(新闻报道中涉提及物理背景, 待细考).
---| 公式的右端, det(B* A B) 是个 n-1阶矩阵的行列式.
---- 星号该是指“共轭转置” ?
---- B* A B 不妨称作 A 的亏矩阵.
---- det(B* A B) 不妨称作 A的“亏值”.
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评论: A 的前 n - 1 个特征值连乘(称作“缺值”), 再乘以 “亏补方”, 等于A的“亏值”.
---- 简记: 亏补方·缺值 = 亏值.
---- “亏补方” 可看做尺度因子.
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Proof.(暂略)
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Para.3
Now we are prepared to state and prove our main result.
---- 至此已经做好描述和证明主要结果的准备.
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Lemma 2. The norm squared of the elements of the eigenvectors are related to the eigenvalues and the submatrix eigenvalues, (2) |vi,j|^2 Π_{k≠i} (λi(A) - λk(A)) = Π_{k=1~n-1}(λi(A) - λk(Mj)).
---- 特征向量元素的范数平方与特征值及子阵特征值的关系: (2) |vi,j|^2 Π_{k≠i} (λi(A) - λk(A)) = Π_{k=1~n-1}(λi(A) - λk(Mj)).
---- 引入 αij·Λ(i) = Λ(i, j).
---- αij:=|vij|^2.
---| Λ(i) 表示“(自)差连积”, 其中 i 固定, 另一个动指标隐含.
---- 在差连积中, 动指标不取固定指标的值.
---- Λ(i) 中只有一个显指标(固定), 暗示“自差”, 关乎主矩阵 A, .
---| Λ(i, j) 表示“(互)差连积”, 出现两个显指标(固定), 暗示“互差”, 关乎主矩阵 A 和 子矩阵 M.
---- 在互差模式中, 动指标取尽.
(两种情况下, Λ 都暗示特征值).
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This result was noted in [DPZ19] and is related to a result in [ESY07, TV11].
---- 该结果在[DPZ19]有注记, 并关系到[ESY07, TV11]的一个结果.
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Proof.(暂略)
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小结: 对文中的两个引理做了概念化, 其余内容待续.
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