需要什么就假设什么。
2019-2-11 19:47
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需要什么就假设什么。
---- 第一段是从条件 A - Si “变”出个 Dᵢ，将它“作用”到Sᵢ，得到Rᵢ.
---- “作用” 是指做加法：Rᵢ:= Dᵢ(Sᵢ) = Dᵢ + Sᵢ.
---- 然后将 (X, ΣSᵢ) 替换为 (X, ΣRᵢ), 保持属性“log smooth”, “禁”.
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在上面的背景下，第二段一上来就说：
---- Rᵢ 是 Ox(A) 的某个 “global section” αᵢ 的 “zero divisor”.
---- 可以看出，Ox(A) 与 (X, ΣRᵢ) 有密切的关系.
---- 确实，证明的第一段也提到 Rᵢ ~ A.
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评论：只要有X 和 A，就有Ox(A)，其中又有“global section”、“zero divisor”.
---- 这里凑巧的是 Rᵢ 与 Ox(A) 的关系，特别是 Rᵢ 作为zero divisor.
---- 为什么不是 Sᵢ? 因为 Sᵢ 与 A 没有关系.
---- 换句话说，第一段是为这个关系作准备.
---- 为何命题不直接从 Rᵢ 开始（即不要Si）？
---- Sᵢ 还得要，它是通过“形式对应原则” 从结论反推出来的.
---- 这样就想到对 Sᵢ 做“改造”（如第一段所做）.
---- 换句话说，“附加3” 是在此背景中构造出来的.
（果然，需要什么就假设什么 —— 这是个原则）
---- 这就拎清了“附加3”的来由.
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给序列 {Rᵢ} (i=1...d) 里添加一个R₀（通过设 α₀）
---- 满足：(X, Σ₀Rᵢ) log smooth, ∩₀Rᵢ = ∅.
---- 后果：α₀...αd 没有共同的消失点.
---- 连锁：α₀...αd 定义态射 π: X --> lPᵈ 使得：
---- Ox(A) ≃ π*Opd(1);
---- αᵢ --> tᵢ. (i=0,...d).
评论：原作没有提到文献，看不出如何得到.
---- 命题开头给出过[19, Th2].也许答案在那里.
---- 标红的部分该是关键.
---- R₀, α₀ 在后面的段落没有用到.
问题：log smooth 起到什么作用？
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读到这里可以猜测：
---- 命题的“实际起点” 是 Ox(A) ≃ π*Opd(1).
---- 即假设有这么个关系，并让 π 待定.
---- 换句话说，认知的起点是一回事，逻辑的起点是另一回事.
---- “逻辑”是指命题的形式和证明的路线.
评论：从“待定”思想出发
---- 是要在Ox(A) 和 Opd(1) 之间建立对应关系。
---- 即在两者的 “global section” 之间建立对应。
---- 证明的关键点在于，构造 Ox(A) 的 global sections 使其没有共同的消失点（这是“方”的一种形式），这就涉及到 zero divisors (即“消失点”)。
---- 另一方面，按照形式对应原则，X 这边要有 Si 与 Opd(1) 中的超平面 Hi 对应。
---- 恰巧，可通过 A - Si构造出zero divisors (即 Rᵢ).
---- 可能，构造 zero divisors 是已有的技巧。
---- 为了深入理解，须了解“zero divisor”的定义。
注：书上有“zero section” 但未见“zero divisor”。
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第二段关于“有限”的证明很简略，概括为“A-ncc-sf”。
---- 其中的缘由待考。
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小结：初步猜测出命题的“实际起点”。
---- 通过全文，Ox(·) 出现很少，而且都不在叙述层面。
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现在希望了解 Ox(A) 的定义：
---- 既然文章里没有解释，说明是基本概念。
---- Wiki上找到几个相关的条目*：
Ox(D)
- 1. If D is an effective Cartier divisor on X, then it is the inverse of the ideal sheaf of D.
- 2. Most of the times, Ox(D) is the image of D under the natural group homomorphism from the group of Cartier divisors to the Picard group Pic(X) of X, the group of isomorphism classes of line bundles on X.
- 3. In general, Ox(D) is the sheaf corresponding to a Weil divisor D (on a normal scheme). It need not be locally free, only reflexive.
- 4. If D is a ℚ-divisor, then Ox(D) is Ox of the integral part of D.
---- 看了上面的解释，暂时没概念。一般而言，抽象数学中，概念摞概念，反而没了概念。
---- 然后在那个页面上搜“global section”，得：
- A sheaf with a set of global sections that span the stalk of the sheaf at every point. See Sheaf generated by global sections.
---- 看上去，global sections 有点像“基”那样，可以 “span” 出整个集合。
---- 既然原作用到“global sections”，该是从“sheaf”的角度谈论 Ox(A)。
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上面关于Ox(D)的第2条可以理解：
---- 设 Gc 是 “group of Cartier divisors”.
---- 设 Pic(X) 是 “Picard group”.
---- 两个群之间建立同态，h: Gc --> Pic(X).
---- 再拿 h 作用到 D，即 h: D --> h(D).
---- Ox(D) 就是上面的像 h(D).
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注：另见 Ch.8, An invitation to Algebraic Geometry, Karen E. Smith et al.(2000).
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