李毅伟
需要什么就假设什么。
2019-2-11 19:47
阅读:348

 

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今日学院:数学系(北京交大)。新闻||  符号大全上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛμφΣ∈ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ≠ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .

需要什么就假设什么。
(接上回)  温习:证明的第二段*
---- 第一段是从条件 A - Si “变”出个 D,将它“作用”到S,得到R.
---- “作用” 是指做加法:R:= D(S) = Dᵢ + S.
---- 然后将 (X, ΣS) 替换为 (X, ΣR), 保持属性“log smooth”, “禁”.
.
在上面的背景下,第二段一上来就说:
---- R 是 Ox(A) 的某个 “global section” α 的 “zero divisor”.
---- 可以看出,Ox(A) 与 (X, ΣR) 有密切的关系.
---- 确实,证明的第一段也提到 Rᵢ ~ A.
.
评论:只要有X 和 A,就有Ox(A),其中又有“global section”、“zero divisor”.
---- 这里凑巧的是 R 与 Ox(A) 的关系,特别是 Rᵢ 作为zero divisor.
---- 为什么不是 S? 因为 S 与 A 没有关系.
---- 换句话说,第一段是为这个关系作准备.
---- 为何命题不直接从 R 开始(即不要Si)?
---- S 还得要,它是通过“形式对应原则” 从结论反推出来的.
---- 这样就想到对 S 做“改造”(如第一段所做).
---- 换句话说,“附加3” 是在此背景中构造出来的.
(果然,需要什么就假设什么 —— 这是个原则)
---- 这就拎清了“附加3”的来由.
.
给序列 {R} (i=1...d) 里添加一个R(通过设 α
---- 满足:(X, ΣRlog smoothR = ∅.
---- 后果:α...αd 没有共同的消失点.
---- 连锁:α...α定义态射 π: X --> lP 使得:
---- Ox(A)  π*Opd(1);
---- α --> t. (i=0,...d).
评论:原作没有提到文献,看不出如何得到.
---- 命题开头给出过[19, Th2].也许答案在那里.
---- 标红的部分该是关键.
---- Rα 在后面的段落没有用到.
问题:log smooth 起到什么作用?
读到这里可以猜测:
---- 命题的实际起点” 是 Ox(A)  π*Opd(1).
---- 即假设有这么个关系,并让 π 待定.
---- 换句话说,认知的起点是一回事,逻辑的起点是另一回事.
---- “逻辑”是指命题的形式和证明的路线.
评论:从“待定”思想出发
---- 是要在Ox(A) 和 Opd(1) 之间建立对应关系。
---- 即在两者的 “global section” 之间建立对应。
---- 证明的关键点在于,构造 Ox(A) 的 global sections 使其没有共同的消失点(这是“方”的一种形式),这就涉及到 zero divisors (即“消失点”)。
---- 另一方面,按照形式对应原则,X 这边要有 Si 与 Opd(1) 中的超平面 Hi 对应。
---- 恰巧,可通过 A - Si构造出zero divisors (即 R). 
---- 可能,构造 zero divisors 是已有的技巧。
---- 为了深入理解,须了解“zero divisor”的定义。
注:书上有“zero section” 但未见“zero divisor”。
.
第二段关于“有限”的证明很简略,概括为“A-ncc-sf”。
---- 其中的缘由待考。
.
小结:初步猜测出命题的“实际起点”。
---- 通过全文,Ox(·) 出现很少,而且都不在叙述层面。
.

现在希望了解 Ox(A) 的定义:
---- 既然文章里没有解释,说明是基本概念。
---- Wiki上找到几个相关的条目*
Ox(D)
1.  If D is an effective Cartier divisor on X, then it is the inverse of the ideal sheaf of D.
2.  Most of the times, Ox(D) is the image of D under the natural group homomorphism from the group of Cartier divisors to the Picard group Pic(X) of X, the group of isomorphism classes of line bundles on X.
3.  In general, Ox(D) is the sheaf corresponding to a Weil divisor D (on a normal scheme). It need not be locally free, only reflexive.
4.  If D is a ℚ-divisor, then Ox(D) is Ox of the integral part of D.
---- 看了上面的解释,暂时没概念。一般而言,抽象数学中,概念摞概念,反而没了概念。
---- 然后在那个页面上搜“global section”,得:
A sheaf with a set of global sections that span the stalk of the sheaf at every point. See Sheaf generated by global sections.
---- 看上去,global sections 有点像“基”那样,可以 “span” 出整个集合。
---- 既然原作用到“global sections”,该是从“sheaf”的角度谈论 Ox(A)。
.
上面关于Ox(D)的第2条可以理解:
---- 设 Gc 是 “group of Cartier divisors”.
---- 设 Pic(X) 是 “Picard group”.
---- 两个群之间建立同态,h: Gc --> Pic(X).
---- 再拿 h 作用到 D,即 h: D --> h(D).
---- Ox(D) 就是上面的像 h(D).
.
注:另见 Ch.8, An invitation to Algebraic Geometry, Karen E. Smith et al.(2000).

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