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本期开始改变画风,搭载数学类学院等有用链接。
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通过改造推进理解。
第二段:准备与归结。
1) MY ~> f ~> z.
---- 核心是得到映射 f.
---- 整个命名为 MY-f-z 算子。汉字标签“锥”或“锥算子”。
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MY-f-z 算子的性质:
---- MY 半丰。
---- f is contractive (Y --> Z)。
---- f factors through Y --> X。
---- MY|s ~0。
---- T --> S。
注:后三条也可看做适用条件(“封装”到性质里)。
助记:MY 和 f 各出现两次;作用对象与 T, S 相关 。
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MY-f-z 算子的作用:
MY-f-z(T, S~) = z.
注:S~ 系 S 的 birational transform.
评论:该算子的核心操作是 f,其它的都是外围设置。
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形象起见,对 f 做如下命名:
f ~ “陀”。【性质:f(T, S~) = z】。
f^{-1} ~ “螺”。【性质:SY ⊂ f^{-1}{z}】。
评论:“锥”的两个状态:尖朝下曰“陀”,尖朝上曰“螺”。
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加评:以上的准备可概括为“锥”。
---- 后面只用到“螺”,即 f^{-1}。但f^{-1}只作用于z,作用结果 f^{-1}{z}也称作“螺”。
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2) KY + BY^+ --> Kx + B^+, SY ⊂ f^{-1}{z} ==> “It is engouh to show (Y, BY^+) is lc over z.”
条件的分析:
---- “KY + BY^+ --> Kx + B^+” 可能只是交待 BY^+的来源。
---- “SY ⊂ f^{-1}{z}” 可以“含”到“螺”的性质里面。
疑问:第一段的独立命题还包括 “(Y, BY^+) is lc near T”,起到什么作用?
疑问:SY 和 T的关系是什么?(期望前者包含后者)。
推测:T is mapped into S, 但 T 并不是 S 的 pullback(理由:“...and f^{-1}{z} contains the pullback of S under Y --> X”,如果 T 是 S 的pullback,可直接写 “f^{-1}{z} contains T”)。
(原作没有明显写出SY,有点奇怪)。
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归结的含义: (Y, BY^+) is lc over z ==> (X, B^+) is lc near S.
---- “over z” 大概是指 “near f^{-1}{z}” ,或相当于 “near SY”。
---- 这个归结部分,给个汉字标签“定”。
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加评:整个第二段概括为:锥,定。
(暗合“定都于锥”)。
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第三段:反证法。
---- 反证假设:(Y, BY^+) is not lc over z.
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进入论证之前,先回顾 Step1 的有关结果。
---- 一 开始有个(X, B), 取\B/的分量S,得(X, S)。
---- (X, S) 区分 plt 与 “非plt” 两种情况。
---- 通过常见加权,得 Γ:= 1/(1+t) B + t/(1+t) S。
---- 若(X, S) plt,则 (X, Γ) plt。并且,\Γ/ = S。
---- 若(X, S) 非plt,转向 X 的 plt blowup Y.
---- 意味着:(Y, T) plt。T 的角色相当于 S.
---- 特别地,T 是 \BY/的分量。(X, B) 对应着 (Y, BY)。
---- 通过常见加权,得 ΓY:= 1/(1+t) BY + t/(1+t) T。
---- 由于(Y, T) plt,则 (Y, ΓY) plt。并且,\ΓY/ = T。
概括对应关系:
(X, B ) ~> (X, S) ~> (X, Γ )。
(Y, BY) ~> (Y, T) ~> (Y, ΓY)。
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走一下该段的论证流程。
---- 当前的起点配对是 (Y, BY^+)。
1. ΘY:=λΓY + (1-λ) BY^+。
---- 这是对 ΓY 和 BY^+ 做常见加权。
2. (Y, ΘY) is plt near T...(but not lc over z)
---- 这是从 (Y, ΓY) plt 推出的结论吗?
---- ΓY 是 BY^+ 的分量吗?
---- 有一点是肯定的:ΓY ≤ BY ≤ BY^+ 。
3. non-klt locus of (Y, ΘY) has at least two connected components near f^{-1}(z)。
---- 原作在头脑中调用了有关结果(大概是基本的)。
---- 简记:nkl~(Y, ΘY)~f^{-1}(z) ≥ 2cc.
---- 命名:nkl 给个汉字标签“鞭”。于是简记化作:
---- 鞭~(Y, ΘY)~螺 ≥ 2cc。或简单地:鞭 ≥ 2cc。
4. -(KY + ΘY) ... ample over Z.
---- 这是辅助刻画(Y, ΘY)的性质。
5. contradiction by connectedness principle.
---- “连通原理”的内容暂时不知道。
---- 原作给了个文献(研讨会文集),暂时找不来。
---- 推测:矛盾出在 鞭 ≥ 2cc 与 -(KY + ΘY) ample。
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评论: (Y, ΘY) 在证明中扮演主角,即处于核心地位。
---- (Y, ΘY) 的浅表性质:秘而不定(plt but not lc)。
---- 两个后果: 如前。
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加评:可以看到,配对在这里扮演枢纽的作用。套路:
---- 构造出配对,提取浅表性质(包括从反证假设继承的性质);
---- 考察或导出其它性质,发现矛盾。
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上面有点太严肃了。
---- 鞭~(Y, ΘY)~螺:联想到 孩童在宫苑内用鞭子抽陀螺(至少得抽上两下吧?),相当于“嬉境”。
---- -(KY + ΘY) ample:出现负号而得到“丰”,联想到“困境”。
---- 嬉境 与 困境 显然不大相容!
---- 好唻,鞭 ≥ 2cc 给个标签“嬉”,-(KY + ΘY) ample 给个标签“困”。
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小结:Step2 的证明部分可概括为:锥、定;嬉、困。这部分的命题概括为:妥、协。
Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Grothendieck
Glossary (AG)
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第一轮读写链接(按目录顺序)
Abstract 8/4
Introduction
Boundedness of singular Fano varieties (1) 8/5
Boundedness of singular Fano varieties (2) 8/6
Boundedness of singular Fano varieties (3) 8/7
Boundedness of singular Fano varieties (4) 8/8
Boundedness of singular Fano varieties (5) 8/9
Boundedness of singular Fano varieties (6) 8/9
Jordan property of Cremona groups 8/10
Lc thresholds of lR-linear systems 8/11
Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (1) 8/12
Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (2) 8/13
Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14
Complements near a divisor 8/15
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