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本期开始改变画风，搭载数学类学院等有用链接。

今日学院：数学学院（四川大学）。新闻。

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如何对付较长的证明？

(接上回S) 4. Complements in a neighbourhood of a divisorial lc centre

评注：这部分是定理1.7的证明。共8个Steps，篇幅约占3.3页。

---- 第一轮跳过了该部分。

---- 今起对付此证明。

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In this section, we prove our main results on existence of complements. It does not follow directly from [3] but the proofs in [3] work with appropriate modifications. We follow the proof of [3, Proposition 6.7].

评注：证明“complements”的存在性。采取[3, 命题6.7]中的证明方法（做适当修改）。

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Proof. (of Theorem 1.7) Step 1. Assume (X, S) is plt. Let Γ:= 1/(1+t) B + t/(1+t) S for some sufficiently small t > 0. Then (X, Γ) is plt, \Γ/ = S, and

M - (Kx + B) - t(Kx +S) 

= M - (1 + t) (Kx + 1/(1+t) B + t/(1+t) S)

=(1+t) (1/(1+t) M -(Kx + 1/(1+t) B + t/(1+t) S))

is ample. In other words,

α M - (Kx + Γ)

is ample for some α ∈ (0, 1). Now continue with Step 3. 

评注：这是 Step 1 的第一段（共3小段）。逐句评论：

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Assume (X, S) is plt.

---- S 即 \B/ 上的 “complement”（核配置）。

---- \B/ 推测是对B下取整。待考。

---- 这里用S取代B，得到(X, S)。

---- 考虑 (X,S) 是 plt 的情况。

注：第二段将考虑 非plt 的情况。

基础：plt 的定义是什么？

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Let Γ:= 1/(1+t) B + t/(1+t) S for ...t > 0.

---- 用加权方法把 B 与 S 联合起来。

---- t 是“足够小”的正数，意味着：

Γ --> B, (t -->+0).

---- Γ 几乎就是 B，但带上了S.

考虑向量：[1/(1+t),  t/(1+t)] 和 [B, S].

---- Γ 是两个向量的内积（广义的“方”）.

附带：Γ --> S, (t -->+oo).

（Γ 介于B和S之间，此处靠近 B）.

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Then (X, Γ) is plt, \Γ/ = S...

---- 用“几乎的B”替换S，却保持plt.(?)

---- 对“几乎的B”下取整，却得到S. (?)

问题：plt 和 “complement”的关系如何？

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...and M - (Kx + B) - t(Kx +S) =...is ample.

---- 怎么想到做这个运算？

---- 已知 M - (Kx +B) is ample（附加3）

---- 意味着减去 t(Kx +S) 能保持 ample。

（注：“t 足够小”的用意大概就在这里）。

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第二个等号后面的式子：

(1+t) (1/(1+t) M -(Kx + 1/(1+t) B + t/(1+t) S))

---- 按刚才（见上面黑体），它 ample。

---- 去掉因子(1+t)，得到：

1/(1+t) M -(Kx + 1/(1+t) B + t/(1+t) S)

---- 此式仍然 ample。令 α =1/(1+t), 并用 Γ 替换 1/(1+t) B + t/(1+t) S，得到改写的形式：α M - (Kx + Γ) 

当然，它 ample. 其中 α 是 (0, 1) 中的某个数值（靠近1）。

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Now continue with Step 3.

---- 意思是 Step 3 要用到（或 go to Step 3 ?）.

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小结：此小段的“落点”是 “α M - (Kx + Γ) is ample”，与 “M - (Kx + B) is ample” 相呼应。Γ 是“几乎的B”，而 “αM”是“几乎的M”。其中的“方法”可以命名为 S-plt-Γ 方法。(留了若干小问题/疑问，待日后“解锁”)。

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这个开头还不错，感觉有信心掌握这个证明。回头再撰“剧情”。

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