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量子场论（中场论）提纲：第三讲
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第0节：相对论不变的方程
物理定律在所有参照系下都相同，物理定律在变换下不变。
伽利略变换------牛顿方程、薛定谔方程。
寻找相对论不变的方程：洛伦兹不变+简单性原则等要求。
数学技术：方程是寻找洛伦兹群的各种表示（Wigner，Gel'fand）
标量表示：Klein-Gordon方程
矢量表示：Maxwell方程，Proca方程
张量表示：Einstein方程等
旋量表示（双值表示，咬文嚼字地说不是表示）：(1/2)自旋------Dirac方程；(3/2)自旋------Rarita-Schwinger方程；任意自旋------Bergmann-Wigner方程。
第1节：场、量子场------我们为什么需要它？
怎样理解第0节给出的方程的物理意义。
历史经验：薛定谔方程的几率解释使量子力学获得巨大成功。
尝试1：推广这个成功经验：将第0节中的这些相对论不变方程解释为一种相对论量子力学的波动方程，即将各种相对论不变方程中的函数解释为几率振幅（注意：这个解释是不对的）。
下面看看这个解释是否正确（以标量场方程为例）：
（1）Klein-Gordon方程的初值时间演化问题：计算初始时刻处由某点出发的时间演化。
Klein-Gordon方程初值问题的四个解：
类时正能解
类时负能解
类空正能解
类空负能解
作业：相对论不变的体积元。
结果表明：类空传播的几率不为零，违背微观因果律。因此，这些相对论不变方程不能被解释成量子力学的波动方程。它们的解不是几率振幅，解的模平方不是几率。
结论：量子力学+相对论=相对论量子力学
"量子力学+相对论=相对论量子力学"的更多理由：
（1）破坏因果律
（2）有限大自由度力学不能处理粒子产生消失，因为力学系统的自由度数不能改变（而相对论要求我们必须考虑粒子产生消失）
（3）Klein-Gordon方程存在负几率困难
（4）相对论给出的结果不能精确解释实验（如Lamb移动）
相对论量子力学为什么还算成功？
（1）不为零的类空传播几率虽破坏因果律，但这种破坏指数衰减（渐进地）
（2）在系统能量低于粒子产生的阈能时，粒子产生消失带来的问题不突出（但不是没有影响）
而且，反正比薛定谔方程给出的结果更准
但是，
（1）光子产生的阈能为零，所以任何能量这个影响都原则上必须考虑
（2）真空涨落的虚过程不在能壳上（测不准关系的结果），因此不光能量多低，粒子阈能多高，都原则上必须计入粒子产生消失的影响
尝试构造一个不破坏因果律的解：
通过观察类时类空正负能解的形式，可以看出
正能解+负能解可以给出不破坏微观因果律的解。
如何理解这个新构造的"正能解+负能解"的不破坏微观因果律的解呢：
两种解释：
（1）认为这个一个存在负能的单粒子解：世界不稳定；
（2）将负能解理解为一个正能粒子沿时间负向传播的解（也就是Dirac的反粒子）：不是单粒子波函数。（注意：Dirac的电子海洋历史上使Dirac预言了反粒子，但是这个图像是错的（试着用它解释一下反玻色子就知道了））
结论：无论如何都不能将这些相对论不变方程理解为相对论量子力学的波动方程。
1-2 经典场------又一次不成功的尝试
将相对论不变方程理解为经典场方程
好处：场论能自然处理产生消失问题
困难与问题：经典场连续变化，不能产生消失质量离散的真实世界中的粒子。（还有你知道的经典理论遇到的各种麻烦）
1-3 量子场------成功了
一份一份地产生消失粒子要求一个量子化了的场。
一个来自观测基本假设：世界上的粒子可分成有限几类，每一类中粒子都是完全相同的。
这要求场方程必须是等间距谱的谐振子式的二阶微分方程。
第2节：Lorentz不变
2-1 Lorentz变换
相对性原理，伽利略变换，洛伦兹变换
普遍的洛伦兹变换的形式及其满足的性质：性质1：Λ^{T}gΛ=g，如果g是欧式空间度规，则Λ是正交矩阵Λ^{T}Λ=1
由间隔不变给出度规在不同参照系下的变换规则：g_{αβ}=┊Λ^{μ}┊_{α}┊Λ^{ν}┊_{β}g_{μν}
2-2 Lorentz群
Lorentz群是O(3,1)群
Lorentz变换的分类：Lorentz变换Λ满足(detΛ)2=1。分成detΛ=1或-1的不连通的两部分
detΛ=1的部分：固有（proper）Lorentz变换，Λ₊；detΛ=-1的部分：非固有Lorentz变换，Λ₋。
固有部分构成一个子群SO(3,1)，非固有部分是SO(3,1)陪集，可以通过一个空间反演P≡diag(1,-1,-1,-1)得到：Λ₋=PΛ₊。
再次分类：可证Λ₀⁰≥1或Λ₀⁰≤-1，二者不能通过参数的连续取值相互变换，因此进一步将Lorentz群分成两部分。
Λ₀⁰≥1部分：正时（orthochronous）Lorentz变换Λ^{↑}；Λ₀⁰≤-1部分：非正时Lorentz变换Λ^{↓}
正时Lorentz变换的意义：变换前后时间坐标同向。
正时与非正时关系：时间反演变换T≡diag(-1,1,1,1). Λ^{↓}=TΛ^{↑}
SO(3,1)与SO(4)群结构的对比
2-3 Poincaré群
X^{′μ}=┊Λ^{μ}┊_{ν}X^{ν}+a^{μ}
2-4 无穷小Lorentz变换
群元（有限大变换）的指数形式，生成元（最基本的变换）
Lorentz变换六个生成元的具体形式：Boost部分（不厄米）K_{x},K_{y},K_{z},空间转动部分J_{x},J_{y},J_{z}
对易关系
[K_{i},K_{j}] = -iε_{ijk}J_{k}
[J_{i},K_{j}] = iε_{ijk}K_{k}
[J_{i},J_{j}] = iε_{ijk}J_{k}
注意：Boost的对易给出转动。
简化对易关系的生成元A≡(1/2)(J+iK);B≡(1/2)(J-iK)，
[A_{i},A_{j}] = iε_{ijk}A_{k}
[B_{i},B_{j}] = iε_{ijk}B_{k}
[A_{i},A_{j}] = 0
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