第一章 群论简引

1 群，作为一种代数结构
    定义，稍做改进的定义，交换群，半群(semi-group)，亚群，交换半群，有单位元的半群(monoid)，拟群(quasi-group)(左商律和右商律)，圈(loop)，groupoid。
  1.1 各种群
      按照不同方式对群分类。
      抽象群：有限群和无限群，分立群和连续群，Abel群（可交换）和非Abel群（不可交换），循环群。
      具体群：置换群，线性群，旋转群。
    1.1.1 变换群
           Cayley定理。
    1.1.2 置换群
           Cayley定理。
    1.1.3 线性群
  1.2 群元，生成元
  1.3 群的特征
      阶，秩。
  1.4 这两个群相同吗？
      同构，同态。
  1.5 子群
      平庸子群，陪集（左陪集，右陪集），不变子群（正规子群），循环群，中心化子（center），正规化子。
  1.6 商群
      压缩（注意，不是分解），商群。
  1.7 单群
      群的基元，不可压缩的群，同态压缩，没有不变子群的群（单群），单群分类定理。

2  表示
       表示（同态），平庸表示，忠实表示（同构表示），变换群表示。
  2.1 置换群表示和线性群表示                                   

  2.2 一般线性群 
      一般线性群GL(V )，n维复线性矢量空间上的一般线性群GL(n,C)，n维实线性矢量空间上的一般线性群GL(n,R)，线性群表示的维数，矩阵群。复一般线性群GL(n,C)的不同的子群：实一般线性群GL(n,R)，复特殊线性群SL(n,C)，实特殊线性群SL(n,R)，幺正群U (n)，特殊幺正群SU (n)，正交群O (n,C)和O (n,R)，特殊正交群SO (n,C)和SO(n,R)。

  2.3 群的不变量与度量，由不变量来构造群
      不变量。
      保++…+的O (n)和SO (n)，

      保+…+++…+的O (m,n)和SO (n)，

      保++…+=++…+的U (n),

      保---…-+++的U (m, n)和SU (m, n)，

      保(-)+(-)+…+(-)的SO*(2n)，

      保（)+()+…+（)的辛群Sp (2n,C) 实辛群Sp (2n,R) 幺正辛群Sp (2n)。

  2.4 各种群之间的关系
  2.5 连续矩阵群
      连续矩阵群，连续群的维数，各种矩阵群的参数个数。

3  拓扑群，李群：同时也是拓扑空间和流形的群
       代数结构，拓扑结构，微分结构。作为群、拓扑空间和微分流形的李群。
  3.1 拓扑空间
      拓扑，相邻关系，拓扑空间。定义拓扑空间的两个途径：开集和邻域（本质是开集）。开集，一个离散的拓扑空间的例子。邻域。附加额外的条件的拓扑空间：Hausdorff空间，度量空间。
  3.2 拓扑群
      同时满足群公理和拓扑的集合。保持相邻关系的群运算，连续性。
     3.2.1 拓扑群的子群，拓扑子群和不变拓扑子群
     3.2.2 两个拓扑群同构
     3.2.3 拓扑群的整体性质：连通性，同伦
           连通性，局部连通，单连通，多连通，同伦，同伦类，连通度。
     3.2.4 基本群
           基本群（同伦群），两个道路的乘法，弧连通空间中不同点的基本群同构。
     3.2.5 覆盖，Hausdorff空间，通用覆盖空间
           覆盖，Hausdorff空间，子覆盖，有限子覆盖，开覆盖，通用覆盖空间。
     3.2.6 紧，紧化
          紧致性，Heine-Borel定理，局部紧，紧化。
  3.3 李群
      同时具有群结构和微分结构的集合李群的拓扑结构（整体性质）局部性质李代数覆盖群
      3.3.1 李群的定义
            希尔伯特第五问题。
      3.3.2 连通性
            叶。
      3.3.3 覆盖群，通用覆盖群
            一个多连通群总有一个唯一地通用覆盖群。

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