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约翰逊-杰克逊的证明精选

已有 5346 次阅读 2023-11-6 09:03 |个人分类:读书札记|系统分类:海外观察

在美国数学学会的一次会议上，两位高中生展示了她们利用三角学证明毕达哥拉斯定理（即，勾股定理）的一种新的方法——这类方法曾被一些人认为是不可能的。数学家伊莉莎·卢米斯（Elisha Loomis）在其1927年的著作《毕达哥拉斯定理》中指出，毕达哥拉斯定理的任何三角学证明都是不可能的。卢米斯认为，如果你在证明毕达哥拉斯定理时使用三角函数，会是一个循环论证。三角学的大多数基本规则本身都是基于毕达哥拉斯定理的，这意味着任何这样的证明可能成问题。但是，实际上，三角学中的有些结果独立于毕达哥拉斯定理，例如，正弦定理，正弦和余弦比值。

2023年3月18日，新奥尔良圣玛丽学校的高中生卡尔恰·约翰逊（Calcea Rujean Johnson）和奈基娅·杰克逊（Ne'Kiya Jackson）在美国数学学会东南分会春季会议上发表了一篇演讲摘要，提出了毕达哥拉斯定理的一个新证明，正是基于三角学中的正弦定理。一些数学家对这个新的证明感到兴奋。

约翰逊-杰克逊是如何证明的呢？假设三角形两个直角边长为a和b，斜边长c。她们在图中添加更多的三角形（图1）:首先，她们通过在一边添加它的镜像来对折原始三角形；然后她们延伸这个镜像三角形的斜边，直到它与一条垂直于原始斜边的线相连。结果是一个新的直角三角形——两个直角边的边长为c，X，斜边为Z。

图1

约翰逊和杰克逊用了正弦定理——假设任意一个三角形的边长为a、b、c，如果把与边a相对的角标为角A，与边b相对的角标为角B，与边c相对的角标为角C，则sinA/a=sinB/b=sinC/c。

注意，图1上部原始三角形及其镜像构成一个等腰三角形（边长为c、c、2a），根据正弦定理：

$\frac {sin2A} {2a}=\frac {sinB} {c}$

由于

$sinB=\frac {b} {c}\, \, \, \to \, \, \, \frac {sin2A} {2a}=\frac {\frac {b} {c}} {c}=\frac {b} {{c}^{2}}\, \, \, \to \, \, \, sin2A=\frac {2ab} {{c}^{2}}$

因此，

$sin2A=\frac {X} {Z}\, \, \, \to \, \, \, \frac {X} {Z}=sin2A=\frac {2ab} {{c}^{2}}$ ...........(1)

证明的后一部分是将这个大三角形细分成无限多个小的直角三角形，它们都与原始三角形相似。约翰逊和杰克逊注意到，当继续沿着这个无限下降时，连续的三角形之间的相应边长比率是a/b。注意，斜边沿线X的相邻三角形的斜边比率是a²/b²，斜边沿线Z的相邻三角形斜边比率也是a²/b²，如同图2所示。这里边长的计算只要用正弦定理。

图2

由

$X=\frac {2ac} {b}+\frac {2{a}^{3}c} {{b}^{3}}+\frac {2{a}^{5}c} {{b}^{5}}+\cdot \cdot \cdot$

得到

$X=\frac {2ac} {b}\left ( {1+\frac {{a}^{2}} {{b}^{2}}+\frac {{a}^{4}} {{b}^{4}}+\cdot \cdot \cdot } \right )=\frac {2ac} {b\left ( {1-\frac {{a}^{2}} {{b}^{2}}} \right )}=2ab\frac {c} {{b}^{2}-{a}^{2}}$

由

$Z=c+\frac {2{a}^{2}c} {{b}^{2}}+\frac {2{a}^{4}c} {{b}^{4}}+\cdot \cdot \cdot$

得到

$Z=c+\frac {2{a}^{2}c} {{b}^{2}}\left ( {1+\frac {{a}^{2}} {{b}^{2}}+\frac {{a}^{4}} {{b}^{4}}+\cdot \cdot \cdot } \right )=c+\frac {2{ca}^{2}} {{b}^{2}\left ( {1-\frac {{a}^{2}} {{b}^{2}}} \right )}$

$=\frac {c\left ( {{b}^{2}-{a}^{2}} \right )} {{b}^{2}-{a}^{2}}+\frac {2{ca}^{2}} {{b}^{2}-{a}^{2}}=\left ( {{b}^{2}+{a}^{2}} \right )\frac {c} {{b}^{2}-{a}^{2}}$

因此，

$\frac {X} {Z}=\frac {2ab\frac {c} {{b}^{2}-{a}^{2}}} {\left ( {{b}^{2}+{a}^{2}} \right )\frac {c} {{b}^{2}-{a}^{2}}}=\frac {2ab} {{b}^{2}+{a}^{2}}$ ..........(2)

比较（1）和（2），得到：

$\frac {2ab} {{c}^{2}}=\frac {2ab} {{a}^{2}+{b}^{2}}$

$\therefore \, \, \, \, {a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}$

证毕。

结语

勾股定理（即，毕达哥拉斯定理）被称为“数学皇冠上的明珠”。德克萨斯A&M大学商学院数学荣誉退休教授斯图尔特·安达臣说，这个定理“连接了代数和几何”。“语句a² + b² = c²，那是一个代数语句。但它的来源是一个几何图形。”

我国周朝时期的商高就提出了“勾三股四弦五”的勾股三元数组的特例。根据加州大学洛杉矶分校计算机科学系的说法，古巴比伦和埃及的学者也知道这个定理，它显示在一个有4000年历史的巴比伦石碑上。所以，它可能至少有4000年的历史。勾股定理至今已经出现500种以上证明方法，大家可能会认为不会有太多新的东西要出现。

今年春天，约翰逊和杰克逊的证明，成为西方许多科技网站报道的焦点，报道大多强调两个高中生发现了勾股定理的“不可能”证明。

两位中学生的探索精神可嘉，美国数学会邀请中学生做报告，也值得称赞。不过，就证明方法本身而言，我还是更喜欢我国三国时期东吴数学家赵爽的证明——直观、简洁（见本博文的附录）。

这里介绍的约翰逊-杰克逊证明过程主要依据参考资料[1]~[3]。我在写这个博客后，发现有一个问题：如果a=b，图1的线Z和线X平行，构不成大三角形。这是否一个漏洞？能够堵塞这个漏洞吗？据报道，美国数学学会(American Mathematical Society)鼓励这两人将他们的结果提交给同行审查，但，几个月过去了，还没有看到有关报道。

参考资料：

[1] Tesfaye Negussie. 2 New Orleans teenagers say they proved the 2,000-year-old Pythagorean Theorem.March 31, 2023.https://abcnews.go.com/US/2-new-orleans-teenagers-proved-2000-year-pythagorean/story?id=98207106

[2] Leila Sloman. 2 High School Students Prove Pythagorean Theorem. Here’s What That Means. April 10, 2023

https://www.scientificamerican.com/article/2-high-school-students-prove-pythagorean-theorem-heres-what-that-means/

[3] Two High School Students Discover "Impossible" Proof Of The Pythagorean Theorem.https://www.iflscience.com/two-high-school-students-discover-impossible-proof-of-the-pythagorean-theorem-68455

附录：

在上一篇博文《如何证明勾股定理》中介绍过历史上7种证明方法。这些证明有的独特而奇妙的，有的简洁而优美。为了与杰克逊和约翰逊的证明方法比较，把这些证明过程的要点图示如下。