以前所谈到的维度都是用“0”或大于“0”的整数（0,1,2,3，…）来按顺序下定义。
其实，也可以按照小数点以下的分数来顺序定义维，而且的确也有这样定义的维。
以立方体为例，
把立方体增大至原来的2倍，那就是每个
边长变为原来的2（2^1）倍，
表面积变为原来的4（2^2）倍，
体积变为原来的8（2^3）倍。
可以看出，这里的指数同维度数是一致的。
利用这个性质，
德国数学家菲勒克斯·豪斯多夫（1868-1942）提出了一种新的定义维的方法，
其基本意思是：
“把图形放大到原来的x倍，
如果某个量因此而变为原来的x^n倍，
那么就确定这个量是n维”。
按照这个定义所确定的维度有一个专门名称，叫做“豪斯多夫维”。
按照豪斯多夫维，通常的直线或曲线是一维，通常的平面图形是二维，维数仍然是整数。
但是，有一类被称为“分形”的特殊图形，它们的豪斯多夫维就不是整数。
所谓分形，也可以说是具有“自相似性”的图形，
将其无论怎样放大，所得到的图形在整体上都与原来的图形具有相同的结构。
海岸线、山脉、云朵等都是自然界中分形的实例。
最经典的分形例子叫“谢宾斯基三角形”。
Sierpinski(谢宾斯基)三角形，其中蕴含涉及数列等非常有趣的、多方面知识。在附图中的三角形，可称作谢宾斯基。
在图示5个三角形中，黑色三角形的个数依次构成一个数列的前5项。在以上5个三角形中，黑色三角形的个数依次为1，3，9，27，81。
该数列的前四项都是3的指数幂，且指数为序号减去1。因此，该数列的通项公式可表示为： An=3^(n-1)
这个图形的豪斯多夫维是大约1.58维
将这个图形放大至原来的2倍，结果得到的是原来3个图形拼合起来的图形。
这就是说，图形放大到原来的2倍，面积增加到原来的3倍。
我们知道，2^(1.58)≈3，因此这个图形的豪斯多夫维是大约1.58维。
在维和维之间还存在着分形图形
分形(Fractal)一词的创始人，美国数学家Mandelbrot 1967年在Science上发表了著名的文章《英国海岸线有多长》（how Long Is The Coast Of Britain），从此使“分形”的概念变得十分流行。
什么是分形呢？简单地说，就是说自然中存在的线、面、体，并不像古希腊人和欧氏几何期望的那样是光滑平整的，而是“坑坑洼洼”的。
Mandelbrot有一句名言：“云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的。
扩展阅读：
数学上的分形 (Fractal) 是指“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少会大略）是整体缩小尺寸的形状”。数学家们已经创作出许多美丽的分形图案，有一个网站Fractal Animation，专门收集分形的视屏。我国还分形频道：http://www.fractal.cn/net/。
在自然界里也有许多分形的事物。连线给出了一组大自然创作的分形艺术，转到这里。如果你喜欢的话，一定要看连线的原文，那里有更多的图片，还有讲解。
绿菜花 (Romanesco Broccoli)
Source: Flickr/Tin.G
盐硷地 (Salt Flats)
Source:Flickr/Tolka Rover
鹦鹉螺化石 (Ammonite Sutures)
Source: Flickr/cobalt123
群山 (Mountains)
Source: NASA/GSFC/JPL, MISR Team.
蕨类植物 (Ferns)
Source: Flickr/cobalt123
云彩 (Clouds)
Source: Jeff Schmaltz/MODIS Land Rapid Response Team/NASA
叶子 (Leaves)
Source: Flickr/ CatDancing
峡谷 (Canyons)
Source: GeoEye/Space Imaging
闪电 (Lightning)
Source: Flickr/thefost
孔雀羽毛 (Peacock Feathers)
Source: Flickr/Digimist
雪花 (Snowflakes)
Source: Flickr/mommamia
瀑布 (Waterfall)
Source: Flickr/catdancing
三角洲 (River Delta)
Source: NASA
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分形学：可以无穷放大的 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码 |
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代码如下：
// 需要安装 EasyX 库，Visual C++ 6.0 编译通过
#include <graphics.h>
#include <conio.h>
// 定义常量
#define ITERATIONS 1000 // 迭代次数，越高，图像越精细
#define MAXCOLOR 64 // 颜色数
/////////////////////////////////////////////////
// 定义复数及乘、加运算
/////////////////////////////////////////////////
// 定义复数
struct COMPLEX
{
double re;
double im;
};
// 定义复数“乘”运算
COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b)
{
COMPLEX c;
c.re = a.re * b.re - a.im * b.im;
c.im = a.im * b.re + a.re * b.im;
return c;
}
// 定义复数“加”运算
COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b)
{
COMPLEX c;
c.re = a.re + b.re;
c.im = a.im + b.im;
return c;
}
/////////////////////////////////////////////////
// 定义颜色及初始化颜色
/////////////////////////////////////////////////
// 定义颜色
int Color[MAXCOLOR];
// 初始化颜色
void InitColor()
{
// 使用 HSL 颜色模式产生角度 h1 到 h2 的渐变色
int h1 = 240, h2 = 30;
for(int i=0; i<MAXCOLOR/2; i++)
{
Color[i] = HSLtoRGB((float)h1, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);
Color[MAXCOLOR-1-i] = HSLtoRGB((float)h2, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR);
}
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分形学：可以无穷放大的 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码 |
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}
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// 绘制 Mandelbrot Set (曼德布洛特集)
/////////////////////////////////////////////////
void Draw(double fromx, double fromy, double tox, double toy)
{
COMPLEX z, c;
for(int x=0; x<640; x++)
{
c.re = fromx + (tox - fromx) * (x / 640.0);
for(int y=0; y<480; y++)
{
c.im = fromy + (toy - fromy) * (y / 480.0);
z.re = z.im = 0;
for(int k=0; k<ITERATIONS; k++)
{
if ( z.re*z.re + z.im*z.im > 4.0 ) break;
z = z * z + c;
}
putpixel(x, y, (k >= ITERATIONS) ? 0 : Color[k % MAXCOLOR]);
}
}
}
/////////////////////////////////////////////////
// 主函数
/////////////////////////////////////////////////
void main()
{
// 初始化绘图窗口及颜色
initgraph(640, 480);
InitColor();
// 初始化 Mandelbrot Set(曼德布洛特集)坐标系
double fromx, fromy, tox, toy;
fromx = -2.1; tox = 1.1;
fromy = -1.2; toy = 1.2;
Draw(fromx, fromy, tox, toy);
// 捕获鼠标操作，实现放大鼠标选中区域
MOUSEMSG m;
bool isLDown = false;
int selfx, selfy, seltx, selty; // 定义选区
while(!kbhit())
{
m = GetMouseMsg(); // 获取一条鼠标消息
switch(m.uMsg)
{
// 按鼠标中键恢复原图形坐标系
case WM_MBUTTONUP:
fromx = -2.1; tox = 1.1;
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分形学：可以无穷放大的 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码 |
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fromy = -1.2; toy = 1.2;
Draw(fromx, fromy, tox, toy);
break;
// 按鼠标左键并拖动，选择区域
case WM_MOUSEMOVE:
if (isLDown)
{
rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);
seltx = m.x;
selty = m.y;
rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);
}
break;
// 按鼠标左键并拖动，选择区域
case WM_LBUTTONDOWN:
setcolor(WHITE);
setwritemode(R2_XORPEN);
isLDown = true;
selfx = seltx = m.x;
selfy = selty = m.y;
rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);
break;
// 按鼠标左键并拖动，选择区域
case WM_LBUTTONUP:
rectangle(selfx, selfy, seltx, selty);
setwritemode(R2_COPYPEN);
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分形学：可以无穷放大的 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码 |
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isLDown = false;
seltx = m.x;
selty = m.y;
if (selfx == seltx || selfy == selty) break;
// 修正选区为 4:3
int tmp;
if (selfx > seltx) {tmp = selfx; selfx = seltx; seltx = tmp;}
if (selfy > selty) {tmp = selfy; selfy = selty; selty = tmp;}
if ( (seltx - selfx) * 0.75 < (selty - selfy) )
{
selty += (3 - (selty - selfy) % 3);
selfx -= (selty - selfy) / 3 * 4 / 2 - (seltx - selfx) / 2;
seltx = selfx + (selty - selfy) / 3 * 4;
}
else
{
seltx += (4 - (seltx - selfx) % 4);
selfy -= (seltx - selfx) * 3 / 4 / 2 - (selty - selfy ) / 2;
selty = selfy + (seltx - selfx ) * 3 / 4;
}
// 更新坐标系
double f, t;
f = fromx + (tox - fromx) * selfx / 640;
t = fromx + (tox - fromx) * seltx / 640;
fromx = f;
tox = t;
f = fromy + (toy - fromy) * selfy / 480;
t = fromy + (toy - fromy) * selty / 480;
fromy = f;
toy = t;
// 画图形
Draw(fromx, fromy, tox, toy);
break;
}
}
getch();
closegraph();
} |
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扩展阅读：
超弦论的研究进展（Developments in Superstring Theory）
https://wap.sciencenet.cn/blog-278395-415275.html
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