文/范洪义

 除了不接受量子力学的几率假设以外，爱因斯坦还曾对从匈牙利来普林斯顿的物理学家英费尔德说起，从美学的观点看来，量子力学是残缺不全的，不能令人满意。英费尔德认为爱因斯坦对自然界的美感和对科学理论的美感是交织在一起的，他知道爱因斯坦对量子力学的数学感觉别扭。

 在给好朋友荷兰物理学家保尔⋅艾伦菲斯特的信中爱因斯坦写得比较具体了："我对狄拉克感到头疼。就像走在令人眩晕的小径上，在这种天才和疯狂之间保持平衡是很可怕的。"因为为了理解狄拉克符号写就的几个式子，他花了好几个小时。

    尽管符号法的引入符合爱因斯坦的研究信条： "人类的头脑必须独立地构思形式，然后我们才能在事物中找到形式。"

 Dirac符号是外在的量子世间与Dirac本人的精神世界发生联系时他所产生的一种特殊的感觉，他之所以有这种与众不同的感觉是由于他有工科知识的背景，具体地说是投影矢量空间的知识（或者张量的知识），这种特殊的感觉经过理性的抽象后倾吐出来，于是就有了态矢（bra和ket），这是Dirac的天才之处。。因为一个好的符号不但能够简洁深刻地反映物理本质，把物理内容与数学符号有机相应，而且可以大量地节约人们思维的脑力。狄拉克说：在1930年的《量子力学原理》中写道："。。。符号法，用抽象的方式直接地处理有根本重要意义的一些量。。。"，"但是符号法看来更能深入事物的本质，它可以使我们用简洁精练的方式来表达物理规律，很可能在将来当它变得更为人们所了解，而且它本身的特殊数学得到发展时，它将更多地被人们所采用"。
    初学量子力学的人要先了解量子力学的用语，即Dirac符号，如果学生们一开始就能径以Dirac符号为其思想之表象，不必要处处"译"成函数，并且学会有序算符内的积分理论，那么就容易熟悉量子论的用语和表象变换（`常识'），学到一个系统，从而习惯量子力学。较自然地接受量子论，所谓：习惯成自然。

  但是，正如一位现代物理学家劳厄在《物理学史》中曾慨叹写道："尽管Maxwell的理论具有内在的完美性，并和一切经验相符合，但它只能逐渐地被物理学家们接受。他的思想太不平常了，甚至像赫尔姆赫兹和波尔兹曼这样有异常才能的人，为了理解它也花了几年的功夫。"那么,一代又一代的量子力学学者为了理解符号法又花了多少功夫呢? 他们真正理解了Dirac的符号法吗?
   
   如今，狄拉克符号法已经成为量子力学的语言，就更需要有人去发展它的数学。爱因斯坦说："如果语言要能够导致理解，那么在符号和符号之间的关系中就必须要有些规则。同时，在符号和印象之间又必须要有固定的对应关系。"
    但是，从1930年到1980年的半个世纪中，没有一篇真正直接地发展符号法的文献，以致于人们慢慢遗忘了狄拉克的这种期望。
    如狄拉克所说，一个想法的创始人不是去发展这一想法的最合适人选，这是一个一般规则，因为他临事而惧，以至于阻止他以一个超脱的方法来观察问题。果然，发展Dirac符号之特殊数学的任务被中国人范洪义以发明有序算符内的积分理论（英文命名为IWOP方法，是Integration within ordered product of operators 的词头）部分地完成了。
    科学从某种意义上来说是为了改善我们的思考方式。量子力学普朗克常数的发现要求我们以能量分离的观点看待微观世界，这已经是金科玉律了。在量子物理中，通向更深入的基本知识的道路是与最简洁的数学描述相联系的. Dirac曾指出："理论物理学的发展中有一个相当普遍的原则，即人们应当让自己被引入数学提示的方向。让数学思想引导自己前进是可取的。"
    为了深入发展Dirac符号法，使之"理形于言，叙理成论"，我的灵感是认为要用有序的观点去分析力学量算符，这是因为量子力学理论建立在一组基本算符的不可交换的基础上。按照奥地利物理学家马赫的观点：把作为元素的单个经验排列起来的事业就是科学，怎样排、以及为什么要这样排，取决于感觉。马赫称作为元素的单个经验为"感觉"。算符的排列有序或无序，其表现形式便不同，感觉有差别。量子力学就是排列算符好看的科学。
    说起有序，空间事物排列的有序使得人眼观察一目了然，信息量的摄入就多；相反，杂乱无章给人脑中留下一片狼藉。另一方面，事件的时间排序突出事情的轻重缓急。
    生活中需要排序的事情枚不胜举，例如在超市排队买东西付账；运动员比赛（淘汰赛）前抽签，两个顶级高手抽签的结果正好在第一轮就相遇，其中一个立被淘汰出局，这样的排序是很不公正的。又如，整理书架，是按内容排序还是按书的购进日期排序？还是按书名的汉语拼音排序？为此，数学家研究出了一些排序算法。计算机也是靠编程序才有生命的，冯-诺伊曼发明了"合并排序"来编写计算机的程序，以提高编序的效率。
    写到此地，不禁想起奥地利物理学家路德维希-玻尔兹曼说的："一个物体的分子排列可能性决定了熵的大小。举例说，如果某个状态有许多种分子排列方式，那么它的熵就很大。"量子算符函数有多种排列方式，所以其"熵"也很大，即可研究的内容很多。
    而量子力学的算符排序问题需要物理学家自己解决，因为物理学家与数学家的思维方式不同。在量子力学中，由于两个基本算符不可交换，排序问题尤为重要。譬如说， 光的产生和湮灭是有次序的，光子的产生和湮灭算符之间遵循不生不灭的顺序。要探索新的光场，就要构建量子光场的密度算符，如果不按某种方式排好序，它是不露真相的，因而新光场不易被察觉、被研究琢磨。
    光场的密度算符的复杂性用数学家的通常方法是很难被排成正规序、或Weyl序的。为了摆脱困境，范洪义研究出了一套用量子力学表象完备性结合积分的排序方法给出了算符排序互换的积分公式。对于某个算符函数，按他的公式只须做一个积分就完成了算符排序的任务。
    在1966年前后范洪义在自学研读《量子力学原理》时，意识到牛顿---莱布尼兹积分规则对由连续的ket-bra 组成的算符积分存在困难，原因是这些算符包含着不可对易的成分。例如怎样完成积分∫_{-∞}^{∞}dx|x/2><x|，其中|x>是坐标本征态，尽管以前的书中有量子力学坐标表象的完备性∫_{-∞}^{∞}dx|x><x|=1。这个问题乍一看来似觉肤浅，但实际上是一个有基本重要性的课题。这是继17世纪继牛顿-莱布尼兹发明微积分、18世纪泊松把积分推广到复平面，积分学对应于量子力学应该发展的一个新方向。如何使牛顿-莱布尼兹积分适用于对|x/μ><x|的积分是一个挑战。<x|是坐标本征态，坐标本征值x→x/μ是一种压缩变化，属于经典变换，如能把此积分做出就得到一个算符的显式，就实现了从经典到量子变换的过渡。注意到做这件事的困难是：这是一个对算符的积分，而这个算符的内涵可能又包含了一些不可对易的基本算符，那么这些基本算符是什么呢？另一问题是对于不可对易的对象的乘积积分（或求和）本身就含糊不清，由于乘积因子不可交换，积分是对前者先积呢还是对后者先积呢？经过多年摸索，他终于用一种非传统的思路找到了解决问题的捷径。
    首先应把|x/μ><x|表示为Fock空间的产生、消灭算符（基本算符）a^{†}与a的函数，然后设法让a与a^{†}在某种排序规则的记号内可以交换位置（对易），这样一来， a与a^{†}在做积分时就只是扮演了参变量的角色。玻色算符有一种正规排序（normal ordering），如在一个由a与a^{†}函数所组成的单项式中，所有的a^{†}都排在a的左边，则称其为已被排好为正规乘积了，以: :标记之 。由于它已经是正规排序的算符，因此在: : 的内部，a与a^{†}是可以交换的，（因为无论它们在内部如何任意地交换，而当要撤去: : 时，所有的 a^{†}必须排在a的左边，在: :内部a与a^{†}的任何交换不会改变其最终结果），于是积分就可以对: :内部的普通函数（以a与a^{†}为积分参数）进行了。所以对|x/μ><x| 积分的步骤是首先将它用a与a^{†}展开，然后，将其纳入正规排列，套上: :后， a与a^{†}就从原来的不可交换变成可对易了，就可以对x积分了，积分过程中保留: : 。而在积分后去掉: : 时，事先把产生算符都置于消灭算符的左边。这样一个积分技术称之为有序算符内的积分技术。以上这些步骤相当于想象自己是外星人，有特异功能，能一眼将不可交换的算符看作是可交换的，大脑中能自动地将无序的算符排列成某种有序的结果。
    IWOP方法对于量子力学基础理论的影响也许可以用`苔衬法'在中国山水画的地位做比喻。在画山水树石时都少不了点苔。细微的点苔在整个画中似乎只是点缀和衬托，但点苔本身也是一门学问，有了它才气韵生动，故称为"山水眼目"，不可或缺。IWOP方法把量子论中的几个重要的基本概念，如态矢量，表象、算符等以积分贯成一气来研究，打通了量子力学的"任脉"与"督脉"，使其"经络疏通"，内容更加生动丰富。
    有序算符内的积分理论把态矢量、表象与算符以积分相联系，又把表象积分完备性与算符排序融合，不但可以导出大量有物理意义的新表象和新幺正算符，而且提供了从经典变换过渡到量子力学幺正变换的自然途径，丰富和发展了量子相空间理论，使得原本因抽象而"干涩"的量子力学表象与变换论有了生气与灵动，成为一个严密的、自洽的、内部"经脉疏通、气息调匀"的数理系统，就像是从一幅山水画中既听到了潺潺水流，又感到了风云叱咤。笔者相信，在懂得了对量子力学的ket-bra算符积分的IWOP技术以后，就可进一步体会到Dirac符号法"随物赋形"的韵律和美感，原本底气不足的读者对于现行量子力学数理基础正确性的信心就会大大增强，对于探索量子世界奥秘就会兴趣盎然。
    有序算符内的积分理论的思想来源是非逻辑的、是跳跃式地穿入人的脑帘的。难怪西方诸多大物理学家包括狄拉克本人都没有想到。以至于有西方的物理大家看到范洪义的论文（题为“从牛顿-莱布尼兹积分到对狄拉克符号的积分”）后感到突兀，没有想到一个中国人能在其本土上发展狄拉克的符号法。我国的两弹一星元勋理论物理学家彭桓武和中国氢弹之父于敏先生也去信给范洪义表示鼓励。而范洪义能想出这个理论是否是由于他潜移默化地受明代王阳明的"致良知"心学的影响呢？还是他喜欢琢磨古诗句、常作诗消愁的自然结果呢? 这两种情形他自己都答不出来。

  还是拿物理大家费曼的话来说明吧 "每一次我们陷入僵局时，就是因为我们用的方法是以前用过的同样方法。但下一个策划，下一个新发现，经常需要完全不同的方法。因此，历史给我们的帮助力不会太大。想出新理念并不容易，那需要难以置信的想象力。"