0  一位前辈看了博文“圆柱浮体的平衡姿态及其稳定性 ”觉得有趣而来信要拙稿。9月19日来信问“稳定平衡时重心与浮心距离达极小”这一命题的原始出处和严格证明。我查了几本书都没有找到，只得略作解释后呈上若干提及该命题的文献。承蒙前辈多次来信讨论，因而写出下面几段文字以向前辈致敬，并请大家批评指正。 

1   物体的重量小于等体积的水重，可以浮在水中；其姿态变化时水面之下体积V 恒定，而形心为浮力作用点，即浮心。浮心的全体构成浮心曲面。

物体平衡时外力势能达到极值，稳定平衡时势能达到极小。浮体仅受重力和浮力，平衡时浮心-重心的连线必定垂直于水面，因而势能达到极值意味着两者距离达到极值。

不过，讨论立方体、圆柱体在水中的姿态依赖于“重心与浮心的距离达到极值则浮体平衡”，是上述命题的逆命题，似乎尚需要一个数学证明。

3   浮心曲面是有界的。移动确定法向的一个截平面，必有两个位置使物体在其两侧的体积分别为V，对应于两个形心。这就是说，浮心曲面上平行的切平面成对出现且法向相反。又因截平面的法向可以在空间遍历，浮心曲面必然是封闭且外凸的。这里没有考虑物体内部容积进水对浮力的影响，如船体倾覆进水则浮力发生的突变。

物体重心W到浮心曲面的距离一定存在极值点。若在S 点达到极值，则以W为球心、以WS 为半径的球必然与浮心曲面相切于S 点，WS垂直于S 处的切平面 (文后扫描平面曲线的若干命题以供参考)；基于杜宾第二定理知道，作用于S点的浮力垂直于过该点的切平面，因而通过重心W，即浮体处于平衡位置。当然，浮体平衡则重心与浮心的连线WS 垂直于水面，也就垂直于过S 点的切平面，因而重心到浮心的距离WS达到极值。

物体未必是均质，因而重心位置与外轮廓并没有关联。可以分成两种情形讨论。

(1)  重心W 在浮心曲面之外，则到该凸曲面的距离仅有最大和最小的两个极值点。后者重心在浮心下方，也就是在支承点的下方，是稳定的；而前者重心在浮心上方，势能最大，因而是不稳定的。请注意，浮心提供的浮力指向浮心曲面的内部。

(2)  重心W 在浮心曲面之内，则重心到该曲面的距离可有多个极值点，以极小值为稳定位置。距离WS 为极小值，等价于WS 小于 S处曲率半径；反之亦然。

不同姿态的浮体在浮心曲面上获得浮力的支承，可以将浮心曲面看成刚体的轮廓线，浮力垂直于过作用点的切平面，正与水平地面支承刚体的特征相同——支承点处法线通过重心、重心高度达到极值以及重心与支承点距离达到极值，三者完全等价；稳定平衡时重心到支承点距离必定为极小值。这些都是力平衡和势能极值原理的不同表述而已。

4   浮体平衡等价于重心与浮心的距离达到极值，距离达到极小意味着稳定平衡。这样的命题容易理解，而所包含逆命题“重心与浮心的距离达到极值则浮体平衡”的严格证明却有些繁琐，正如前篇博文所说“三维空间有界几何体，若任意平面对其截面为圆面，则该几何体为球”。或许，最著名的逆命题该是“若三角形的两条角平分线相等则为等腰三角形”吧。

以下内容扫描自 科朗 R，罗宾 H. 什么是数学. 左平，张饴慈译. 复旦大学出版社. 2008. P349

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