尤明庆
喝酒划拳中的数学(附:摇号和选麦穗) 精选
2018-12-5 22:28
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标签:条件概率, 划拳, 摇号, 选麦穗

冯老师的博文介绍了划拳的历史及相关知识,学习之后颇有收获。文中特别提及数学内容,称两人出拳数字相加所得之和的概率是不相同的,以得五的概率最大,得零和十的概率最小。不过,实际划拳或猜枚或许与此略有些不同。

甲乙两人各出0~5 之间的一个数字,其和为0~10;若随机出数则结果是概率最大,为 6/36结果是零或十的概率最小,只有1/36。这是当然的。不过,划拳者所报数字与其所伸指头的数目相关,如伸两个指头,则通常会报数2~7;不管报出其中的哪一个数,正确的概率都是1/6——正确与否取决于对方所伸指头的数目;而旁观者猜二、三、四、五、六、七时正确的概率是3/364/365/366/365/364/36。其间存在差别。

当局者在6个数字中猜测而旁观者在11个数字中猜测,掌握的信息不同,判断的准确性当然不同。仅举一个例子予以说明:旁观者预猜结果为三,因甲方有4/6 的可能出零~三,基于乙方的所出指头数目,各有1/6的可能正确;而甲方有2/6 的可能出 四和五,则不管乙方所出都是不可能正确;于是,其猜对概率是4/6 *1/6+2/6*0=4/36

最后说句题外话。若酒席有目盲而耳聪者,其听到两位划拳者所报数目之后可以更准确地猜出结果,除非双方都叫“五魁首”而完全不透漏信息。

科学网博客曾经基于医学检查讨论条件概率的问题,似乎有些复杂难解。划拳问题相对简单,或许有助于理解“信息”对判断准确性的重要作用。

附录1:摇号

有博文讨论“真随机数”,想到“经适房的六连号”。作为数学问题就是,从M 个元素中随机选取 m 个出现 k 连号的概率(k ≤ m)。 

对于LHK 市摇号,有= 1138, m = 514, k = 14,相应的概率为 0.01500,即14连号概率为1.5%;而WH 市摇号,M = 5141, m = 124, k = 6, 相应的概率为8.970*10^(–7),略小于百万之一。网上许多文章称:“这种结果出现的概率仅为千万亿分之一”,似乎有误。

或许有人会说,现在只出现一次连号,没有出现两次以上的连号,没有出现k–1 连号,也没有出现k+1 连号,等等,实际概率比上面的计算值还要低;因而,……

随机发生的事情在发生之后就是确定的,通常不能再分析事件发生的概率。不过,摇号过程不够透明,有时结果比较奇特而引起民众的误解和猜疑;猜疑若不能平息则会损伤公信力。就此而言,摇号程序要简单、明确,结果随机但事后任何人都可以“复盘”确认 

申请截止后迅速公布如下内容:(1) 合格申请数 M,摇号数m,摇号日期 等(2) 中奖者序号为 M*n+1 之整数部分,nsqrt (A+jπ) + sqrt (B+jπ) + sqrt (C+jπ) 之小数部分;(3) 参数A 、BC摇号前一日沪市收盘指数、某外汇牌价或摇号现场随机产生(产生方法也应公布),等等j=1 to m。如果出现重复结果,则参数 相应顺延。 

如此摇号就是一个确定-随机-确定的过程,公开-透明-公正的过程。当然,计算公式可以改变;参数π 可以改为 e或者根号2等等。相关内容只要预先公布就行。

网上文章称:某地摇号51次,有近9 万人一次就中,而14201人参加51未中。摇号是没有办法的办法,结果肯定不能公平;不过,只要摇号过程可以“复盘”就不会产生猜疑啊。

附录2:从100个麦穗中选取一个,逐个观察而决定是否选取;选后不得更换! 

倘若已经到了最后而无可选择,当然得取了那最后一个,不能空手而归;不过,若是看着第99个,也知道后面还有1个。您会怎么想呢?要是我,这个眼前的麦穗,只要在已展示的99个中排入前50位就行,超过半数就行;除非这个真是不好,才将全部的希望寄予最后。

期望取得最好者不应成为设计策略的目标如果已经看了75个,都不能满意;看到第76个的时候,知道已经过了3/4、只剩下1/4的历程。您想,既然麦穗是随机的排列,那么最好的或许已经出现了,或许已不可能取得了。眼前的这个若能进入前三名,大约就是剩余的25个中最好的倘若恰巧是第一,那是机遇若是第四乃至第五,也该赶紧握在手中。怎能说不比前面的都好就不要。那是贪婪啊!

容易理解,在看到67个、51个时若其能够达到第三名、第二名就可以选取。至于在52~66 个之间的选择,那是生活态度而不是数学问题。当然,在看37~50 个麦穗时,若不如已出现的最好者则放弃不取,即只是选取第一名;对最初的36个麦穗则只作观察。因100/e=36.79,确定数字36而不是夏博士博文给出的37个,只是自己的生活态度啊。

显然,最好者出现在前36个肯定不能取到;即使在37个之后出现也未必能够取到——其前面较优者可能被优先选取。倘若更好的已经失去了,略作伤感之后,得赶紧在可选中选出可能的最好,才是切实可行的生活态度。至于将来或许还有更好的,那也只是或许啊,当不得真的。我不准备进行数学论证或数值模拟,因为如何选择只是生活态度而已。

第一好者出现在前36且第二好者出现在前50的概率是0.18,在这样的情形要取得第三、第四好者也是不容易的。有时候我们并不能承受20%的风险,因而只得降低目标。就数学问题而言就是,采取何种策略使选取者为10名、20名或者60名的概率最大

当然,寻求的策略只是成功的概率最大而已,并不能确保绝对的成功。试想,若麦穗以从好到差或者从差到好的顺序出现,有何种策略能够应对呢?随机出现或者随机分布是常说的话语。可是,这个世界有真正的随机吗?面对已经出现的结果,相信尚待出现的未知结果依然按随机的方式出现,并依照既定的策略进行选择,我们能够吗?

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