阿基美德（公元前287年~前212年）提出力矩的概念，解决了平行力的平衡问题；若一个力与多个平行力平衡，则其等值反向的作用力就是那些力的合力。显然，各个分力关于合力作用点的力矩之和为零。

 1   中学平面几何介绍三角形时说，若在顶点布置等重物体或相同作用力 W，则B、C 两处作用力的合力在中点D；三力的合力作用点一定在中线AD上，当然也在另两条中线上；三条中线必然交于一点，即三角形的重心M，其分中线为2:1。该点也是均质等厚三角板的质心。

顺便说一句，若在四面体的顶点布置等重物体而求其重心，则容易理解四面体的对边之中点连线交于一点，且该点为3条连线之中点。 

2   如果在三个顶点布置物体的重量与对边的长度成比例，则B、C 两处作用力的合力作用点E 满足BE/EC=W_C/ W_B=AB/AC；于是AE为∠A的平分线，且三力的合力作用点一定在AE上，当然也在另两条角平分线上；三条角平分线必然交于一点，即三角形的内心I：内接圆的圆心。又，若将A点处作用力反向，则三力的合力作用点在AE的延长线上、以及∠B和∠C的外角平分线上，三线必然交于一点即三角形的旁心。 

3   在三个顶点布置物体的重量与角度的正切值成比例，则B、C 两处作用力的合力作用点F 满足BF/FC=W_C /W_B=tanC/tanB；于是AF为BC边的高，且三力的合力作用点一定在AF上，当然也会在另两条高线上；三高必然交于一点即垂心H。

因 tanC = – tan(A+B)，有tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC ，

可以选取图中系数w 而使三点作用力之和为单位 1。

 4   如果在三个顶点布置物体的重量具有图示数值，三角形处于水平状态；若外接圆半径为R，则B、C 两处作用力以及A处作用力关于中垂线DD’的力矩分别为 

显然，三处作用力关于中垂线 DD’ 的力矩为零，因而合力作用点一定在DD’ 上，当然也在另两条中垂线上；三者必然交于一点，即三角形的外心O。 

5  上面两节的对应点作用力之和正好为1，如A 点  

如前所述，垂心H处作用的合力为1；而重心M处的总合力为3；于是，外心O处作用的合力为2。这就证明了“三角形的重心在外心与垂线的连线上，且分其为2：1”。这一结果是欧拉1765年发现https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_line。 

6   几何证明是容易的。延长BO 至Q，使OQ=BO，即Q在外接圆上；

容易知道AHCQ 为平行四边形，因而CH //= QA //= 2OE；

于是中线CE与OH的交点M分两线均为2：1。点M当然是重心。

取HC的中点P，连接EP交OH于N，因HP //= EO 知道N为EP及OH的中点；G 为垂足，因而在EP为直径的圆上。再注意到EO //= PC，因而EP//= OC即该圆直径等于外接圆的半径。于是，三边的中点、垂足以及垂心与顶点连线之中点都在这个“九点圆”上。据此也就知道垂心H将高所分两段之乘积相等。

7   事物内部的联系真是复杂呢。

注：（1）我不知道此前是否有人利用合力作用点证明 外心-重心-垂心 共线；

        （2）欧拉线以及九点圆读高中时就知道；不过，此次写作时没有查阅任何书籍；只是在拙稿完成之后看了一下https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_line 以确认年代。

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