关于费玛数有定理：如果2的m次方再加1是素数，那麽m等于2的n次方。（王元有证明）
 我这里试用模的余数分析法来分析费玛数和麦森数的特性，它实际上可用一种特殊的筛法来分析。先讨论费玛数。
 2的一次方加1等于3，2的平方加1等于5，2的3次方等于9，2的4次方加1等于17，2的5次方加1等于33，2的6次方加1等于65，2的7次方加1等于129，2的8次方加1等于257，2的9次方加1等于513，2的10次方加1等于1025，2的11次方加1等于2049，2的12次方加1等于4097，2的13次方加1等于8193，2的14次方加1等于16385，2的15次方加1等于32769，2的16次方加1等于65537，2的17次方加1等于131073，2的18 次方加1等于262145，2的19次方加1等于524289，2的20次方加1等于1048577，2的21次方加1等于2097153，2的22次方加1等于4194305，2的23次方加1等于8388609，2的24次方加1等于16777217，……，以上规律表明，凡是m为奇数时，2的 m次方加1都能被3整除，证明：{2}*{2}={1}；{2}*{2}*{2}={2}，
（mod3）,{1}+1={2}，{2}+1={0}，故m为奇数时，只有1次方时是素数3；
 2的平方加1等于5，它是素数，但模5的余数规律使2的m次方加1能成为素数的允许范围是有限的，1，3，5次方为奇数，2次方为5的{0}位，只有4次方可能是素数（17），下面5的{0}位是；6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，50，54，58，62，66，70，……。为什麽相隔4位一个5的{0}类，2的3次方为{3}，4次方为{1}，5次方为{2}，6次方为{4}，2的m次方不能为{0}（mod5）,所以只有4个非0类参与循环；2的4次方是17 的0类，它有16 个非0类，4+16=20，那麽，2的20次方加1应该整除17，1048576+1=1048577=61681*17。它的0类是36，52，68，……。2的8次方加1是257，是素数，它的下一个0类是8+256=264，2的264次方加1应整除257。2的16次方加1是65537（素数），它的下一个0类是2的65552次方。
 现在我们把得的素数位和它们的0类排出：m=1（3），2（5），3，4（17），5，6，7，8，（257），9，10，11，12（17*241），13，14，15，16（65537），17，18，19，20（17），21，22，23，24（16777216+1=16777217 =97*172961），25，26，27，28（17），29，30，31，32（641*6700417），33，34，35，36（17），37，38，39，40（？），41，42，43，44（17），45，46，47，48（？），49，50，51，52（17），53，54，55，56（？），57，58，59，60（17），61，62，63，64（？），65，66，67，68（17），69，70，71，72（？），73，74，75，76（17），77，78，79，80（？），81，82，83，84（17），85，86，87，88（？），89，90，91，92（17）93，94，95，96（？），97，98，99，100（17），102，103，104（？），105，106，107，108
（17），109，110，111，112（？），113，114，115，116（17），118，119，120（？），
 运用上述筛法，把未知的m列出，只要足够多，根据其间距，就可判断哪是素数哪是合数，并把所含因数求出。
 王元在证费玛数定理时，是用反证法证明非费玛数都可进行因式分解，现在把未知的下列非费玛数进行因式分解：
 40（257*4278255361）；48（65537*4292901761）；56（257*？）；72（257*？）；80（65537*？）；88（257*？）；96（641*6700417*？）；104（257*？）；112（65537*？）；120（257*？）；……。
 用因式分解法比较简单方便，而用间距分析法则数据多，而且要用一定的分析方法。
 费玛数有其必然的内在规律，余数循环只是其中一种。已经出现的费玛数为什麽不互交，循环第一周期状态（从 m=1至费玛数的距离不超过半周期），为什麽形成周期性。这里将不作更多分析。
 关于麦森数，有定理：如果n大于1，且a的n次方减1是素数，那么a=2,且n是素数。
 证明方法亦是反证法，如果n是合数则能进行因式分解，故n只能是素数。
 下面进行类似的余数分析。n=1（2-1=1）；n=2（4-1=3）；n=3（8-1=7）；n=4（16-1=15）；n=5（32-1=31）；n=6（64-1=63）；n=7（128-1=127）；n=8（256-1=255）；n=9（512-1=511）；n=10（1024-1=1023）；n=11（2048-1=2047）； n=12（4096-1=4095）；n=13 （8192-1=8191）
n=14（16384-1=16383）；n=15（32768-1=32767）；n=16（65536-1=65535）；n=17（131072-1=131071）；n=18（262144-1=262143）；n=19（524288-1=524287）；n=20（1046576-1=1048575）
对mod3，循环按2，1，2，1，……，对mod7，按2，4，1，2，4，1，……，对mod 5按2，4，3，1，2，4，3，1，……，对mod 31,按2，4，8，16，1，2，4，8，16，1，……，mod17:按2，4，8，16，15，13，9，1，2，4，8，16，15，13，9，1，……，mod73,按2，4，8，16，32，64，55，37，1，2，4，8，16，32，64，55，37，……，2047（23*89）按2，4，8，16，9，18，13，3，6，12，1（mod23）；而 mod89按2，4，8，16，32，64，39，78，67，45，1；mod2047则按2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024，1，循环。
 从以上对费玛数和麦森数的分析可知，任何一种矛盾设制都不可能准确得到素数，下面我们可以变换一下，看看是否能得到类似的结果。
 2的m次方加15：2+15=17，4+15=19，8+15=23，16+15=31，32+15=47，64+15=79，128+15=139，256+15=271，512+15=527，1024+15=1039，2048+15=2063，4096+15=4111
 2的m次方减15：2-15= -13 ，4-15= -11，8-15= -7，16-15=1，32-15=17，64-15=49，128-15=113，256-15=241，512-15=497，1024-15=1009，2048-15=2033，4096-15=4081
 以上有527，49，497，2033，4081不是素数，我们还可以把15 换成105，或用105倒减。

 

何盛余
2009.3.19

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